科学空间|Scientific Spaces

2、量子力学中的作用量量子化方法

在发现经典电动力学的这个新作用量之后，费曼便试图将它量子化，以期得到一个令人满意的量子电动力学。当时，量子物理学中还没有采用作用量方法。常规的途径是从哈密顿函数开始，用算符来取代经典哈密顿函数中的位置和动量，再应用非对易关系。费曼当时还不知道，狄拉克在1932年的一篇文章中已经将作用量和拉格朗日函数引进了量子力学[9]。正当他百思不得其解时，一位在普林斯頓访问的欧洲学者吿诉他，狄拉克在某某文章中讨论过这一间题。得知此信息后，费曼次日即去图书馆翻阅此文。

狄拉克在1932年的文章中引进了一个非常重要的函数$ < q_{t+dt}|q_t > $，并指出它“相当于” $\exp[\frac{i}{\hbar}Ldt]$[9]。这“意味着”,狄拉克强调：“我们不应该把经典的拉格朗日函数看成是坐标和速度的函数，而应把它看作两个不同时刻t和r+dt的坐标的函数。"[9]在狄拉克思想的启发之下，费曼径直把“相当于”改写为“正比于”：

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也许当我们从小学数学进入中学数学的过程中，让我们最郁闷的事情就是课本上把用的好好的角度制改为弧度制了，那个好好的360°的周角无端端变成了一个无理数$2\pi$，为此还多了一堆转换公式，那时这可把我折腾了好一阵子。为什么一个完美的360°不用，反而转向一个无理数$2\pi$？这里边涉及到了相当多的原因，在这些原因中，重新体现了数学体系的一致与简约。当然，文章里的观点只是我自己的看法，仅供大家参考。

弧度制：简约的要求

如果读者已经学过了极限理论，那么我就可以直接说，引入弧度制，是为了在这样的一种角的度量体制下，满足：
$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$$

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这篇文章源于《新科学家》2010年8月7日刊，它介绍了物理学家Horava为了统一相对论和量子力学，把广义相对论的时空联系割裂的尝试。在相对论中，时间和空间结合成了不可分割的整体。而现在，有物理学家却要把时间与空间分开，来建立让广义相对论和量子力学相调和的统一理论。我对这个理论挺感兴趣的，当然，我还没有能力弄懂它。只是它符合了我们大多数人的一个直觉，就是时间总有跟空间不同的地方，它们之间不应该完全等同起来。不过，事实如何，只有未来的实验能够严重了。

本文并没有官方的中文译文，现载的译文来自“译言网”。译文有一些翻译不大正当的地方，由于时间限制，无法一一修正，但是我觉得对于理解本文内容已经足够了。如果有疑问，不妨参考后边的英文原文，并在此提出与大家讨论。

对爱因斯坦的反思：空间-时间耦合的物理数学的终结

纠结于融合引力和量子力学的物理学家们正向着一个受到铅笔芯启发的理论欢呼雀跃，这个理论可以很简单地让他们取得成功。

它曾是一个改变了我们思考空间和时间的方式的报告。那一年是1908年，德国数学家赫尔曼-闵可夫斯基正尝试着理解爱因斯坦火热的新思想——即我们现在所熟知的狭义相对论，它描述当物质运动很快时它们是如何收缩以及时间是如何扭曲的。“从此独立的空间和时间将注定淡出到纯粹的虚幻中，”闵可夫斯基说道：“而只有两者的统一才能保证一个独立的现实世界。”

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大概在半年前，我曾用“化圆法”解决了椭圆内定长弦中点轨迹问题，求出了轨迹方程。前几天，我收到了网名为“理想”的网友的Email，他提出了自己对这个问题的解法，并得到了形式不同的轨迹方程，因此对两者的等价性表示疑惑。经过检验，我跟他的轨迹方程基本上是等价的，不过，他求出的轨迹方程总包括了原点，这是一点不足之处。但是看起来，他的轨迹方程却感觉好看一些。这的确很让人意外，因为从他的化简过程来看，有种“化简为繁”的味道，却得出了相当简洁的答案，着实有趣。

经过网友的同意，将他的过程贴在这里与大家分享！后面附有pdf文档，欢迎下载阅读。希望在科学空间可以看到更多的读者留下的痕迹。

椭圆定长弦中点轨迹的一种解法

作者：理想

本文介绍了一种计算椭圆定长弦中点轨迹的方法。设椭圆长、短轴分别为$2a$、$2b$，弦长为$2r$，随着弦的两端在椭圆上滑动，弦的中点形成的轨迹为：
$$(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 1)(\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} + \frac{r^2}{a^2b^2}) + \frac{r^2}{a^2b^2} = 0$$
它不是一个椭圆，而是一个高次曲线。

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微分方程领域大放光彩

虽然微分方程在各个计算领域都能一展才华，不过它最辉煌的光芒无疑绽放于微分方程领域，包括常微分方程和偏微分方程。海王星——“笔尖上发现的行星”——就是摄动法的著名成果，类似的还有冥王星的发现。天体力学家用一颗假设的行星的引力摄动来解释已知行星的异常运动，并由此反推未知行星的轨道。我们已不止一次提到过，一般的三体问题是混沌的，没有精确的解析解。这就要求我们考虑一些近似的方法，这样的方法发展起来就成为了摄动理论。

跟解代数方程一样，摄动法解带有小参数或者大参数的微分方程的基本思想，就是将微分方程的解表达为小参数或大参数的幂级数。当然，这是最直接的，也相当好理解，不过所求得的级数解有可能存在一些性态不好的情况，比如有时原解应该是一个周期运动，但是级数解却出现了诸如$t \sin t$的“长期项”，这是相当不利的，因此也发展出各种技巧来消除这些项。可见，摄动理论是一门应用广泛、集众家所大成的实用理论。下面我们将通过一些实际的例子来阐述这个技巧。

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昨天在上“科学计算软件”课时，讲到了一个“抢15”游戏（Pick15），就是在1~9这9个数字中，双方轮流选一个数字，不可重复，谁的数字中有三个数字的和为15的，谁就是赢家。

这是个简单的游戏，属于博弈论范畴。在博弈论中有一个著名的“策梅洛定理”（Zermelo's theorem），它指出在二人的有限游戏中，如果双方皆拥有完全的资讯，并且运气因素并不牵涉在游戏中，那先行或后行者当一必有一方有必胜/必不败的策略。比如中国象棋就属于这一类游戏，它告诉我们对于其中一方必有一种必不败策略（有可能和棋，有可能胜，反正不会输）。当然，策梅洛定理只是告诉我们其存在性，并没有告诉我们怎么发现这个策略，甚至连哪一方有这种最优策略都没有给出判别方法。这是幸运的，因为如果真有一天发现了这种策略，那么像象棋这类博弈就失去了意义了。

上述的抢15游戏当然也属于这类游戏。不同于象棋的千变万化，它的变化比较简单，而且很容易看出它对先手有着明显的优势。下面我们来分析一下。

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快要学期末了，不少学霸开始忙碌起来了。不过对非学霸的我来说，基本上每天都是一样的，希望把自己感兴趣的东西深入研究下去，因为我觉得，真正学会点有用的东西才是最重要的。数学分析和高等代数老师都要求写课程论文，我也写了我比较感兴趣的“欧拉数学”和“超复数研究”，之后会把这部分内容与大家分享。

虽然学期已经接近尾声了，但是我们的课程还没有上完。事实上，我们的新课一直上到十八周~随着考试的接近，我们的《高等代数》课程也已经要落幕了。最近在上的是二次型方面的内容，讲到正定二次型和正定矩阵。关于正定矩阵的判别，教科书上提供了两个判别方法，一个是基于定义的初等变换，另外一个就是主子式法。前者无可厚非，但是后者我似乎难以理解——它虽然是正确的，但是它很丑，计算量又大。我还没有想清楚主子式法到底有什么好的？在我看来，本文所探讨的基于二次方程判别式的方法才是简单、快捷的。

正定二次型
所谓正定二次型，就是关于n个变量$x_1,x_2,...,x_n$的二次齐次函数，只要$x_i$不全为0，它的值恒为正数。比如
$$2 x_1^2+x_2^2-2 x_1 x_2=x_1^2+(x_2-x_1)^2$$
这是一个比较简单的正定二次型，多元的还有
$$5 x_1^2+x_2^2+5 x_3^2+4 x_1 x_2-8 x_1 x_3-4 x_2 x_3$$

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写在前面：作为离散数学的实验作业，我选择了研究数独。经过测试发现，数独的自动推理还不算难，我把两种常规的推理思路转化为了计算机代码，并结合了随机性推导，得到了一个解题能力还不错的数独程序。事实上，本文的程序还可以进一步优化，以得到更高能力的数独程序（只需要整理一下代码，加上几个循环和判断即可），但是我实在太懒，没有动力继续弄下去了，就这样先和大家分享吧。最后，笔者认为本文的算法是更接近我们的思维的算法。

数独简介

历史

相传数独源起于拉丁方阵（Latin Square），1970年代在美国发展，改名为数字拼图（Number Place）、之后流传至日本并发扬光大，以数学智力游戏智力拼图游戏发表。在1984年一本游戏杂志《パズル通信ニコリ》正式把它命名为数独，意思是“在每一格只有一个数字”。后来一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德（Wayne Gould）在1997年3月到日本东京旅游时，无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士报》上发表，不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国，之后他用了6年时间编写了电脑程式，并将它放在网站上，使这个游戏很快在全世界流行。

台湾于2005年5月由“中国时报”首度引进, 且每日连载, 亦造成很大的回响。台湾数独发展协会(Taiwan Sudoku Association, 简称 TSA)亦为世界解谜联盟会员。香港是在2005年7月30日由AM730在创刊时引入数独。中国大陆是在2007年2月28日正式引入数独。北京晚报智力休闲数独俱乐部（数独联盟前身）在新闻大厦举行加入世界谜题联合会的颁证仪式，成为世界谜题联合会的39个成员之一。（引用自“中文维基百科”： http://zh.wikipedia.org/wiki/数独）

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