科学空间|Scientific Spaces

在文章《有趣的求极限题：随心所欲的放缩》中，读者“最近倒了”提出了一个新颖的解法，然而这位读者写得并非特别清晰，更重要的是里边的某些技巧似乎是笔者以前没有见过的，于是自行分析了一番，给出了以下解释。

胡闹的结果

假如我们要求级数和
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A_k}{n^k}$$
这里$A_0=1$。一般而言，我们用下标来标注不同的数，如上式的$A_k,\,k=0,1,2,\dots$，可是有的人偏不喜欢，他们更喜欢用上标来表示数列中的各项，他们把上面的级数写成
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A^k}{n^k}$$
可能读者就会反对了：这不是胡闹吗，这不是让它跟分母的n的k次幂混淆了吗？可是那人干脆更胡闹一些，把级数写成
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A^k}{n^k}=\left(1+\frac{A}{n}\right)^n$$
看清楚了吧？他干脆把$A$当作一个数来处理了！太胡闹了，$A$是个什么东西？估计这样的孩子要被老师赶出课堂的了。

可是换个角度想想，似乎未尝不可。

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毫无疑问，数据是数据分析的基础，而对于我等平民来说，获取大量数据的方式自然是通过爬虫采集，而对于笔者来说，写爬虫最自然的方式就是用Python写了。短短几行代码，就可以完成一个实用的爬虫，多清爽。（请参考：《记录一次爬取淘宝/天猫评论数据的过程》）

爬虫要住在哪里？

接下来的一个问题是，这个爬虫放到哪里运行？为了爬取每天更新的数据，往往需要每天都要运行一次爬虫，特别地，是在某个点定时运行。这样的话，老挂在自己的电脑运行是不大现实，因为自己的电脑总有关机的时候。也许有读者会想到放在云服务器里边，这是个方法，但是需要额外的成本。受到小虾大神的启发，我开始想把它放到路由器里边运行，某些比较好的路由器是可以外接U盘，且可以刷open-wrt系统的（一个Linux内核的路由器系统，可以像普通Linux那样装Python）。这对我来说是一种很吸引人的做法，但是我对Linux环境下的编译并不熟悉，尤其是路由器环境下的操作；另外路由器配置很低，一般都只是16M闪存、64M内存，如果没有耐心，那么是很难受得了的。

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最近一直在考虑一些自然语言处理问题和一些非线性分析问题，无暇总结发文，在此表示抱歉。本文要说的是对于一阶非线性差分方程（当然高阶也可以类似地做）的一种摄动格式，理论上来说，本方法可以得到任意一阶非线性差分方程的显式渐近解。

非线性差分方程

对于一般的一阶非线性差分方程
$$\begin{equation}\label{chafenfangcheng}x_{n+1}-x_n = f(x_n)\end{equation}$$
通常来说，差分方程很少有解析解，因此要通过渐近分析等手段来分析非线性差分方程的性质。很多时候，我们首先会考虑将差分替换为求导，得到微分方程
$$\begin{equation}\label{weifenfangcheng}\frac{dx}{dn}=f(x)\end{equation}$$
作为差分方程$\eqref{chafenfangcheng}$的近似。其中的原因，除了微分方程有比较简单的显式解之外，另一重要原因是微分方程$\eqref{weifenfangcheng}$近似保留了差分方程$\eqref{chafenfangcheng}$的一些比较重要的性质，如渐近性。例如，考虑离散的阻滞增长模型：
$$\begin{equation}\label{zuzhizengzhang}x_{n+1}=(1+\alpha)x_n -\beta x_n^2\end{equation}$$
对应的微分方程为（差分替换为求导）：
$$\begin{equation}\frac{dx}{dn}=\alpha x -\beta x^2\end{equation}$$
此方程解得
$$\begin{equation}x_n = \frac{\alpha}{\beta+c e^{-\alpha n}}\end{equation}$$
其中$c$是任意常数。上述结果已经大概给出了原差分方程$\eqref{zuzhizengzhang}$的解的变化趋势，并且成功给出了最终的渐近极限$x_n \to \frac{\alpha}{\beta}$。下图是当$\alpha=\beta=1$且$c=1$（即$x_0=\frac{1}{2}$）时，微分方程的解与差分方程的解的值比较。

差分方程的摄动法1

现在的问题是，既然微分方程的解可以作为一个形态良好的近似解了，那么是否可以在微分方程的解的基础上，进一步加入修正项提高精度？

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熵的概念

作为一名物理爱好者，我一直对统计力学中“熵”这个概念感到神秘和好奇。因此，当我接触数据科学的时候，我也对最大熵模型产生了浓厚的兴趣。

熵是什么？在通俗的介绍中，熵一般有两种解释：（1）熵是不确定性的度量；（2）熵是信息的度量。看上去说的不是一回事，其实它们说的就是同一个意思。首先，熵是不确定性的度量，它衡量着我们对某个事物的“无知程度”。熵为什么又是信息的度量呢？既然熵代表了我们对事物的无知，那么当我们从“无知”到“完全认识”这个过程中，就会获得一定的信息量，我们开始越无知，那么到达“完全认识”时，获得的信息量就越大，因此，作为不确定性的度量的熵，也可以看作是信息的度量，说准确点，是我们能从中获得的最大的信息量。

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Python数据分析与挖掘实战

暑假的时候，应泰迪公司之约，我为他们的书《MATLAB数据挖掘与挖掘实战》编写了姊妹版：《Python数据挖掘与挖掘实战》（还有一个姊妹版是R语言的），主要的工作内容就是编写Python的介绍，以及把书上的MATLAB代码翻译为Python版本的。我欣然接受了，一来可以兼职赚点零花钱，二来可以系统地训练一下自身的Python编程，再则，还可以体验一次MATLAB、R、Python的大PK。现在书本已经正式发行，亚马逊、当当、京东、淘宝都可以找到，我也很荣幸被列为作者之一，于是这便算是我出版的第一本书了。

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在拙作《“熵”不起：从熵、最大熵原理到最大熵模型（一）》中，笔者从比较“专业”的角度引出了熵，并对熵做了诠释。当然，熵作为不确定性的度量，应该具有更通俗、更形象的来源，本文就是试图补充这一部分，并由此给出一些妙用。

熵的形象来源

我们考虑由0-9这十个数字组成的自然数，如果要求小于10000的话，那么很自然有10000个，如果我们说“某个小于10000的自然数”，那么0～9999都有可能出现，那么10000便是这件事的不确定性的一个度量。类似地，考虑$n$个不同元素（可重复使用）组成的长度为$m$的序列，那么这个序列有$n^m$种情况，这时$n^m$也是这件事情的不确定性的度量。

$n^m$是指数形式的，数字可能异常地大，因此我们取了对数，得到$m\log n$，这也可以作为不确定性的度量，它跟我们原来熵的定义是一致的。因为
$$m\log n=-\sum_{i=1}^{n^m} \frac{1}{n^m}\log \frac{1}{n^m}$$

读者可能会疑惑，$n^m$和$m\log n$都算是不确定性的度量，那么究竟是什么原因决定了我们用$m\log n$而不是用$n^m$呢？答案是可加性。取对数后的度量具有可加性，方便我们运算。当然，可加性只是便利的要求，并不是必然的。如果使用$n^m$形式，那么就相应地具有可乘性。

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最近在算路径积分的时候，频繁地遇到了以下两种无穷级数：
$$\sum_n \frac{1}{n^2\pm\omega^2}\quad \text{和} \quad \prod_n \left(1\pm\frac{\omega^2}{n^2}\right)$$
当然，直接用Mathematica可以很干脆地算出结果来，但是我还是想知道为什么，至少大概地知道。

伯努利级数

当$\omega=0$的时候，第一个级数变为著名的伯努利级数
$$\sum_n \frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\dots$$
既然跟伯努利级数有关，那么很自然想到，从伯努利级数的求和入手。

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现在我们来关注黎曼曲率。总的来说，黎曼曲率提供了一种方案，让身处空间内部的人也能计算自身所处空间的弯曲程度。俗话说，“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，还有“当局者迷，旁观者清”，等等，因此，能够身处空间之中而发现空间中的弯曲与否，是一件很了不起的事情，就好像我们已经超越了我们现有的空间，到了更高维的空间去“居高临下”那样。真可谓“心有多远，路就有多远，世界就有多远”。

如果站在更高维空间的角度看，就容易发现空间的弯曲。比如弯曲空间中有一条测地线，从更高维的空间看，它就是一条曲线，可以计算曲率等，但是在原来的空间看，它就是直的，测地线就是直线概念的一般化，因此不可能通过这种途径发现空间的弯曲性，必须有一些迂回的途径。可能一下子不容易想到，但是各种途径都殊途同归后，就感觉它是显然的了。

怎么更好地导出黎曼曲率来，使得它能够明显地反映出弯曲空间跟平直空间的本质区别呢？为此笔者思考了很长时间，看了不少参考书（《引力与时空》、《场论》、《引力论》等），比较了几种导出黎曼曲率的方式，简要叙述如下。

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