科学空间|Scientific Spaces

在小学的时候，数学老师就教我们除法运算：

被除数 = 除数 × 商 + 余数

其中，余数要小于除数。不过，我们也许未曾想到过，这一运算的成立，几乎是自然数$\mathbb{N}$所有算术（数论）运算性质成立的基础！在代数中，上面的运算等式称为带余除法（division algorithm）。如果在一个整环中成立带余除法，那么该整环几乎就拥有了所有理想的性质，比如唯一分解性，也就是我们说的算术基本定理。这样的一个整环，被称为唯一分解整环（Unique factorization domain）。

欧几里得整环

Euklid-von-Alexandria_1

唯一分解定理说的是在一个整环之中，所有的元素都可以分解为该整环的某些“素元素”之积，并且在不考虑元素相乘的顺序和相差单位数的意义之下，分解形式是唯一的。我们通常说的自然数就成立唯一分解定理，比如$60=2^2\times 3\times 5$，这种分解是唯一的，这看起来相当显然，但实际上唯一分解定理相当不显然。首先，并不是所有的整数环都成立唯一分解定理的，我们考虑所有偶数组成的环$2\mathbb{Z}$，要注意，在$2\mathbb{Z}$中，2、6、10、30都是素数，因为它们无法分解成两个偶数的乘积了，但是$60=6\times 10=2\times 30$，存在两种不同的分解，因此在这样的数环中，唯一分解定理就不成立了。

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我们这学期开设《实变函数》的课程，实变函数的第一章是集合。关于无穷集合的势，有很多异于直觉的结论。这些结论的证明技巧，正是集合论的核心方法。然而，我发现虽然很多结论跟我们的直觉相违背，但是仔细回想，它又没我们想象中那样“离谱”。而我们目前使用的教科书《实变函数论与泛函分析》（曹广福），却没有使用看来简单的证明，反而用一些相对复杂的定理，给人故弄玄虚的感觉。

一、全体实数不能跟全体正整数一一对应

这是集合论中的基本结论之一。证明很简单，如果全体实数可以跟全体正整数一一对应，那么$(0,1)$上的实数就可以跟全体正整数一一对应，把$(0,1)$上的全体实数表示为没有0做循环节的无限小数（比如0.1表示为0.0999...），那么设一种对应为：
$$\begin{aligned}&a_1=0.a_{11} a_{12} a_{13} a_{14}\dots\\
&a_2=0.a_{21} a_{22} a_{23} a_{24}\dots\\
&a_3=0.a_{31} a_{32} a_{33} a_{34}\dots\\
&\dots\dots
\end{aligned}$$

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假设我是一名中学数学老师，在给学生兴致勃勃地讲“素数”，讲完素数的定义和相关性质后，正当我接着往下讲时，有个捣蛋的学生提问，“老师，你能不能举一个三位数的素数？”。可是我手头上没有1000以内的素数表，我也没记住超过100的素数，那怎么办呢？我只好在黑板上写出几个三位数，比如173、211、463，然后跟学生说“让我们来检验这些数是不是素数”。最终的结果是：它们都是素数！然后会有学生疑问：怎么会这么巧？

素数的概率

首先的问题是，任意写一个三位数，它是素数的概率是多少？三位数的素数共有143个，三位数共有900个，于是概率应该是143/900，大约是六分之一。看起来挺低的，要“蒙中”似乎不容易。

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之前笔者曾写过《初试在Python中使用PARI/GP》，简单介绍了一下在Python中调用PARI/GP的方法。PARI/GP是一个比较强大的数论库，“针对数论中的快速计算（大数分解，代数数论，椭圆曲线...）而设计”，它既可以被C/C++或Python之类的编程语言调用，而且它本身又是一种自成一体的脚本语言。而如果仅仅需要高精度的大数运算功能，那么GMP似乎更满足我们的需求。

了解C/C++的读者都会知道GMP（全称是GNU Multiple Precision Arithmetic Library，即GNU高精度算术运算库），它是一个开源的高精度运算库，其中不但有普通的整数、实数、浮点数的高精度运算，还有随机数生成，尤其是提供了非常完备的数论中的运算接口，比如Miller-Rabin素数测试算法、大素数生成、欧几里德算法、求域中元素的逆、Jacobi符号、legendre符号等^[来源]。虽然在C/C++中调用GMP并不算复杂，但是如果能在以高开发效率著称的Python中使用GMP，那么无疑是一件快事。这正是本文要说的gmpy2。

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伽马函数
$$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$$
作为阶乘的推广，会让很多初学者感到困惑，对于笔者来说也不例外。一个最自然的问题就是：这般复杂的推广公式是如何得到的？

在cos.name的文章《神奇的伽马函数》中，有比较详细地对伽马函数的历史介绍，笔者细读之后也获益匪浅。但美中不足的是，笔者还是没能从中找到引出伽马函数的一种“自然”的办法。所谓“自然”，并不是说最简单的，而是根据一些基本的性质和定义，直接把伽马函数的表达式反解出来。它的过程和运算也许并不简单，但是思想应当是直接而简洁的。当然，我们不能苛求历史上伽马函数以这种方式诞生，但是作为事后探索是有益的，有助于我们了解伽马函数的特性。于是笔者尝试了以下途径，得到了一些结果，可是也得到了一些困惑。

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前言：一年前国赛的时候，很初级地做了一下B题，做完之后还写了个《碎纸复原：一个人的数学建模》。当时就是对题目很有兴趣，然后通过一天的学习，基本完成了附件一二的代码，对附件三也只是有个概念。而今年我们上的数学建模课，老师把这道题作为大作业让我们做，于是我便再拾起了一年前的那份激情，继续那未完成的一个人的数学建模...

与去年不同的是，这次将所有代码用Python实现了，更简洁，更清晰，甚至可能更高效~~以下是论文全文。

研究背景

2011年10月29日，美国国防部高级研究计划局（DARPA）宣布了一场碎纸复原挑战赛（Shredder Challenge），旨在寻找到高效有效的算法，对碎纸机处理后的碎纸屑进行复原。[1]该竞赛吸引了全美9000支参赛队伍参与角逐，经过一个多月的时间，有一支队伍成功完成了官方的题目。

近年来，碎纸复原技术日益受到重视，它显示了在碎片中“还原真相”的可能性，表明我们可以从一些破碎的片段中“解密”出原始信息来。另一方面，该技术也和照片处理领域中的“全景图拼接技术”有一定联系，该技术是指通过若干张不同侧面的照片，合成一张完整的全景图。因此，分析研究碎纸复原技术，有着重要的意义。

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对于任意的素数$p$，集合$\mathbb{Z}_p=\{0,1,2,\dots,p-1\}$在模$p$的加法和乘法之下，构成一个域，这是学过抽象代数或者初等数论的读者都会知道的一个事实。其中，根据域的定义，$\mathbb{Z}_p$首先要在模$p$的加法下成为一个交换群，而且由于$\mathbb{Z}_p$的特殊性，它还是一个循环群，这也是比较平凡的事实。但是，考虑乘法呢？

首先，$0$是没有逆元的，我们考虑乘法，是在$\mathbb{Z}^\cdot _p=\mathbb{Z}_p \verb|\| \{0\}=\{1,2,\dots,p-1\}$上考虑的。如果我说，$\mathbb{Z}^\cdot _p$在模$p$之下的乘法也作成一个循环群，这结论就不是很平凡的了！然而这确实是事实，对于所有的素数$p$均成立。而有了这事实，数论中的一些结论就会相当显然了，比如当$d\mid (p-1)$时，$\mathbb{Z}_p$中的$d$次剩余就只有$\frac{p-1}{d}$个了，这是循环群的基本结论。

在《数学天书中的证明》一书中，有该结论的一个证明，但这个证明是存在性的，而我在另外一本书上也看到过类似的存在性证明，也就是说，似乎流行的证明都是存在性的，它告诉我们$\mathbb{Z}^\cdot _p$是一个循环群，但是没告诉我们怎么找到它的生成元。而事实上，高斯在他的《算术探索》中就给出了一个构造性的证明。（在数论中，本文的结论是“原根”那一章的基本知识。）下面笔者正是要重复高斯的证明，供读者参考。

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前段时间在研究费曼的路径积分理论，看到路径积分的微扰方法，也就是通过小参数展开的方式逐步逼近传播子。这样的技巧具有非常清晰的物理意义，有兴趣了解路径积分以及量子力学的读者，请去阅读费曼的《量子力学与路径积分》。然而从数学角度看来，这种逼近的技巧实际上非常粗糙，收敛范围和速度难以得到保证。事实上，数学上发展了各种各样的摄动技巧，来应对不同情况的微扰。下面我们研究积分
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon x^4} dx\tag{1}$$
或者更一般地
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon V(x)} dx\tag{2}$$
路径积分的级数展开比它稍微复杂一些，但是仍然是类似的形式。

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