复分析学习1:揭示微分与积分的联系
By 苏剑林 | 2012-08-02 | 35510位读者 | 引用笔者这段时间对复数尤其感兴趣,当然,严格来讲应该是复变函数内容,其中一个原因是通过它,我们可以把一些看似毫不相关的内容联系了起来,体现了数学的简洁美和统一美。我相当有兴趣的其中一个内容是实分析中的泰勒级数和傅里叶级数。这两者都是关于某个函数的级数展开式,其中泰勒级数是用于一般函数展开的,其各项系数通过求n阶导数得到;傅里叶级数的对象是周期函数,其各项系数是通过定积分求得的。在实数世界里,两者毫不相关,但是,复分析却告诉我们:它们只是同一个东西!只是将其在不同的角度“投影”到实数世界里,就产生了不同的“物像”,以至于我们认为它们是不同东西而已。
我们直接来看一个变魔术般的运算:
我们知道,在实数世界里头,我们有
$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$,其中$|x| < 1$
“未解之谜”:为何不讲中点矩形法则?
By 苏剑林 | 2012-07-20 | 55304位读者 | 引用前言
在之前的一些文章中,我们已经指出过现行教材的一些毛病。比如主次不当(最明显的是那些一上来就讲线性方程组的线性代数教程)、缺乏直观性、缺少引导性等,我想其中最主要的原因可能是过于随大流了,别人怎么编我们也跟着怎么编,缺乏自己的观点和逻辑,因此导致一些常见的毛病就一直流传了下来。也许正因如此,就导致了有那么一种奇怪的现象——明明有一种计算量少的、精确度高一些的方法,教科书几乎从未提及;另外一种计算量稍大、精确度稍低的方法,但每一本同类教科书都讲述了它。不能不说这是一个“未解之谜”......
本文要讲的就是这样的两种方法,它们分别是用来求定积分近似值的“中点矩形法则”和“梯形法则”。对于后者我想绝大多数学习过微积分的朋友都会有印象,它就是那个几乎出现在了所有微积分教材的方法;而前者我相信不少读者都未曾听闻,但让人意外的是,它的计算量稍低,精确度却稍高。本文就简单介绍这两种方法,并且比较它们的精度。而本文的独特之处在于,证明过程沿用了《复分析:可视化方法》的思路,使用几何方法漂亮地估计误差!
我们的目标是在难以精确计算的情况下,通过一定的方法求出$\int_a^b f(x)dx$的近似值,这些方法基本上都是利用了积分即面积的思想。
两种不同的方法
椭圆内的一根定长弦(化圆法)
By 苏剑林 | 2012-07-06 | 31584位读者 | 引用在上一篇文章《抛物线内的一根定长弦》中,我们解决了抛物线内的定长弦中点轨迹问题,那还算是一个比较简单的问题。虽然同是圆锥曲线,但把同样的问题延伸到椭圆上,却不是那么简单了。因为椭圆的轨迹方程的x,y坐标通过平方相互“纠缠”在一起,不像抛物线方程那样可以容易分离开来(指的是分离成$y=f(x)$的形式)。BoJone尝试了若干种方法,还是难以把它的轨迹求出来。最后通过“化圆法”,终得轨迹方程。
所谓化圆法,就是将椭圆通过拉伸变成一个圆,利用圆的性质来解决一些问题。众所周知,相比椭圆,圆具有相当多的简单性。这是我高考前研究各种各样的高考圆锥曲线题时,所总结出来的一种方法。有时候,把椭圆拉伸为圆后,结论就相当显然了;同时,圆作为一个特殊的椭圆,椭圆的一般结论,放在圆上自然也是成立的。所以要研究椭圆问题,不妨先研究它的特例——圆问题;另一方面,利用圆的对称性等等,也可以大幅度地减少计算量,所以BoJone很喜欢这个方法。更想不到的是,它居然在求本文的轨迹时派上用场了。
求多边形外角和的绝妙方法!
By 苏剑林 | 2012-07-03 | 45898位读者 | 引用抛物线内一根定长的弦
By 苏剑林 | 2012-06-30 | 33149位读者 | 引用费曼积分法——积分符号内取微分(4)
By 苏剑林 | 2012-06-26 | 74561位读者 | 引用趁着早上有空,就赶紧把这篇文章写好吧。下午高考成绩要公布了,公布后也许又会有一段时间忙碌了。这应该是“费曼积分法”系列最后一篇文章了。它主要讲的还是费曼积分法的一个实例。不同的是,这是BoJone首次独立地用费曼积分法解决了一个问题。之前提到的一些例子,都是书本提供并结合了提示,BoJone才把它们算出来的。所以这个问题有着点点纪念意义。
数学研发论坛上wayne曾求证这样的命题:
$\int_0^{\infty}\frac{f(x,2m-1)-\sin x}{x^{2m+1}}dx$其中,f(x,2m-1)表示sinx的2m-1阶泰勒展开
如m=1时,
$$\int_0^{\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}dx$$
m=2时
$$\int_0^{\infty}\frac{x-\frac{x^3}{6}-\sin x}{x^5}dx$$
借助软件我发现结果是:
$\frac{\pi(-1)^{m-1}}{2(2m)!}$
你见过正方形轮子的自行车吗?一般认为,只有圆形的车轮才能使我们的车子平稳向前移动,但这只是针对平直道路而言的。谁规定路一定是平的?只要铺好一条适当的道路,正方形车轮的自行车照样可以平稳前行!本文就让我们为方轮自行车铺一条路。
其实,方轮自行车已经不是新鲜玩意了,它早已出现在不少科技馆中。从图片中可以看到,它的特殊轨道是有许多段弧组成的,每一段弧的长度等于正方形的边长。车轮前行时,正方形会保持与弧形相切(确保不会打滑)。这样的路的形状是什么曲线呢?很幸运,它并不十分复杂,而且让人意外的是,它就是我们之前已经研究过的“悬链线”!原来,要设计这样的一个曲线的轨道,不需要多么高深的设计师,只需要我们手拿一条铁链,让它自由垂下......
费曼积分法——积分符号内取微分(3)
By 苏剑林 | 2012-06-23 | 52595位读者 | 引用由于自行车之旅的原因,这篇文章被搁置了一个星期,其实应该在一个星期前就把它写好的。这篇文章继续讲讲费曼积分法的一些例子。读者或许可以从这些不同类型的例子中,发现它应用的基本方向和方法,从而提升对它的认识。
例子2:
$$\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx$$
这也是一种比较常见的类型,它的形式为$\int \frac{f(x)}{x}dx$,对于这种形式,我们的第一感觉就是将其改写成参数形式$\int \frac{f(ax)}{x}dx$,这样的目的很简单,就是把分母给消去了,与$\int \frac{x}{f(x)}dx$的求积思想是一致的。但是深入一点研究就会发现,纵使这样能够消去分母,使得第一次积分变得简单,但是到了第二次积分的时候,我们发现,它又会变回$\int \frac{f(x)}{x}dx$的积分,使我们不能继续进行下去,因此这个取参数的方法大多数情况下都是不行的。
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