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20 Jul

“未解之谜”:为何不讲中点矩形法则?

前言

在之前的一些文章中,我们已经指出过现行教材的一些毛病。比如主次不当(最明显的是那些一上来就讲线性方程组的线性代数教程)、缺乏直观性、缺少引导性等,我想其中最主要的原因可能是过于随大流了,别人怎么编我们也跟着怎么编,缺乏自己的观点和逻辑,因此导致一些常见的毛病就一直流传了下来。也许正因如此,就导致了有那么一种奇怪的现象——明明有一种计算量少的、精确度高一些的方法,教科书几乎从未提及;另外一种计算量稍大、精确度稍低的方法,但每一本同类教科书都讲述了它。不能不说这是一个“未解之谜”......

本文要讲的就是这样的两种方法,它们分别是用来求定积分近似值的“中点矩形法则”和“梯形法则”。对于后者我想绝大多数学习过微积分的朋友都会有印象,它就是那个几乎出现在了所有微积分教材的方法;而前者我相信不少读者都未曾听闻,但让人意外的是,它的计算量稍低,精确度却稍高。本文就简单介绍这两种方法,并且比较它们的精度。而本文的独特之处在于,证明过程沿用了《复分析:可视化方法》的思路,使用几何方法漂亮地估计误差!

我们的目标是在难以精确计算的情况下,通过一定的方法求出$\int_a^b f(x)dx$的近似值,这些方法基本上都是利用了积分即面积的思想。

两种不同的方法

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19 Jul

【备忘】在自己的电脑上搭建服务器

宇宙驿站维修期间,BoJone曾经想过用自己的电脑来搭建服务器,建立一个临时页面。但后来发现经常开着电脑不大好,就没有这样做了。不过如何在自己的电脑上搭建服务器,还是值得笔记一下的。

BoJone还在使用WinXP专业版系统,最标准的方法当然是使用IIS,可以一气呵成。但是考虑到IIS需要配置挺多东西的,所以就没有这样做了。所以自己在网上下载一些小软件,“拼凑”成了一个临时服务器。这样的方法也能够很方便地应用到各个Windows系统。

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分类:资源共享    标签:网站, 软件 阅读全文 12 评论
18 Jul

【翻译】庆祝希格斯玻色子的最终发现!

计算机模拟的希格斯粒子(“上帝粒子”)衰变

计算机模拟的希格斯粒子(“上帝粒子”)衰变

笔者:对于科学界来说,七月份最重大的事情莫过于在LHC我们终于发现了希格斯玻色子的踪迹。BoJone到《新科学家》网站上选取了一篇文章进行翻译,让大家了解其中的一些事情。当然,发现这个希格斯玻色子已经是七月四号的事情了,现在已经是非常迟到了,中间的原因就是宇宙驿站的故障了......迟到总比没到好,现在发出来,与大家共勉。翻译得不好,请指出毛病,高手见笑了^_^

庆祝希格斯玻色子的最终发现!

作者:日内瓦的CERN 的Celeste Biever 2012年7月4日

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18 Jul

科学空间终于恢复访问了!

经过10天的抢险维修,数据中心机房开始逐步恢复运行。科学空间也能够正常访问了!激动中...^_^

这是科学空间建立以来,宇宙驿站服务器所经受的最大一次灾难了,中断时间是迄今为止最长的一次。大量的天文科普网站都被中断,原因很简单,它们和科学空间一样,都把网站寄放在宇宙驿站服务器上。除了科学空间,中断访问的还有牧夫天文论坛、星友空间站、空间天文网等等。

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分类:生活/情感    标签:网站 阅读全文 7 评论
6 Jul

椭圆内的一根定长弦(化圆法)

在上一篇文章《抛物线内的一根定长弦》中,我们解决了抛物线内的定长弦中点轨迹问题,那还算是一个比较简单的问题。虽然同是圆锥曲线,但把同样的问题延伸到椭圆上,却不是那么简单了。因为椭圆的轨迹方程的x,y坐标通过平方相互“纠缠”在一起,不像抛物线方程那样可以容易分离开来(指的是分离成$y=f(x)$的形式)。BoJone尝试了若干种方法,还是难以把它的轨迹求出来。最后通过“化圆法”,终得轨迹方程。

椭圆内的定长弦1

椭圆内的定长弦1

所谓化圆法,就是将椭圆通过拉伸变成一个圆,利用圆的性质来解决一些问题。众所周知,相比椭圆,圆具有相当多的简单性。这是我高考前研究各种各样的高考圆锥曲线题时,所总结出来的一种方法。有时候,把椭圆拉伸为圆后,结论就相当显然了;同时,圆作为一个特殊的椭圆,椭圆的一般结论,放在圆上自然也是成立的。所以要研究椭圆问题,不妨先研究它的特例——圆问题;另一方面,利用圆的对称性等等,也可以大幅度地减少计算量,所以BoJone很喜欢这个方法。更想不到的是,它居然在求本文的轨迹时派上用场了。

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分类:数学研究    标签:椭圆, 轨迹 阅读全文 1 评论
3 Jul

求多边形外角和的绝妙方法!

如图是一个三角形,要求三角形的外角和。外角和定义为“多边形每一个内角的补角之和”,比如这里的∠DAC+∠FCB+∠EBA。当然,这里一般指的是凸多边形。

三角形的外角和 (1)

三角形的外角和 (1)

显然,这并不是一个什么大难题,答案是360度,方法有很多,直接用内角和公式计算、想象成旋转一周甚至你亲自去测量一下都行。但我觉得最妙的方法无疑是下面的方法。

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分类:数学研究    标签:几何, 欣赏 阅读全文 3 评论
30 Jun

今天傍晚出现了彩虹

今天傍晚看到了彩虹!当然这算不上什么奇观,但还是一道美丽的风景。

人说“不经历风雨,怎么见彩虹”,我发现彩虹不一定是在雨后的,今天我看彩虹的时候,就是暴风雨前夕。彩虹是在18点10分左右出现的,持续了5分钟左右吧,看着看着,雨越下越大,我被迫停止欣赏了,不过彩虹也随之消失了。

用一个老相机简单记录了一下这道亮丽的风景!这是我第一次拍摄彩虹^_^

不知道是相机问题还是真有其事,在照片上发现有两条彩虹。难道这次的彩虹是”双彩虹“?那可真是奇观了!


很老的家用数码相机,没有广角,不能拍摄全景,这是用photoshop把两张图片拼凑起来的,效果不好

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分类:生活/情感    标签:自然, 风景 阅读全文 2 评论
30 Jun

抛物线内一根定长的弦

高考成绩出来了,不是很理想,不能进入很理想的高校。不过不管到了哪里,我都会一直延续我的科学梦,醉心于数学物理研究。昨天志愿填报也完成了,所以高考的事情暂时也告一段落了,接着就等通知了。

接下来的几篇文章可能会探讨一些有趣的轨迹问题,是和圆锥曲线有关的,它们基本都是在高考前两周的时间内完成的。先看最简单的一个,抛物线$y=x^2$内有一条定长为a的弦,求弦的中点轨迹,并探讨轨迹的最低点位置。

抛物线里边的定长弦

抛物线里边的定长弦

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