高斯型积分的微扰展开(二)
By 苏剑林 | 2015-03-07 | 24601位读者 | 引用为什么第二篇姗姗来迟?
其实要写这系列之前,我已经构思好了接下来几篇的内容,本来想要自信地介绍自己想到的一些积分展开的技巧;而且摄动法我本身就比较熟悉,所以正常来说不会这么迟才有第二篇。然而,在我写完第一篇,准备写第二篇的期间,我看到了知乎上的这篇回复:
http://www.zhihu.com/question/24735673
这篇文章大大地拓展了我对级数的认识。里边谈及到了积分的展开是一个渐近级数。这让我犹豫了,怀疑这系列有没有价值,因为渐近级数意味着不管怎样的展开技巧,得到的级数收敛半径都是0。
后来再想想,就算是渐近级数,也有改进的空间,有加速收敛的方法,所以我想我这几篇文章,应该还有一点点意义吧,还可以顺便介绍一下渐近级数和奇点的相关理论。嗯,就这么办吧。
从Knotsevich在黑板上写的级数题目谈起
By 苏剑林 | 2015-02-27 | 31771位读者 | 引用高斯型积分的微扰展开(一)
By 苏剑林 | 2015-02-14 | 35181位读者 | 引用前段时间在研究费曼的路径积分理论,看到路径积分的微扰方法,也就是通过小参数展开的方式逐步逼近传播子。这样的技巧具有非常清晰的物理意义,有兴趣了解路径积分以及量子力学的读者,请去阅读费曼的《量子力学与路径积分》。然而从数学角度看来,这种逼近的技巧实际上非常粗糙,收敛范围和速度难以得到保证。事实上,数学上发展了各种各样的摄动技巧,来应对不同情况的微扰。下面我们研究积分
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon x^4} dx\tag{1}$$
或者更一般地
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon V(x)} dx\tag{2}$$
路径积分的级数展开比它稍微复杂一些,但是仍然是类似的形式。
怎么会这么巧!背后的隐藏信息
By 苏剑林 | 2015-01-21 | 38480位读者 | 引用假设我是一名中学数学老师,在给学生兴致勃勃地讲“素数”,讲完素数的定义和相关性质后,正当我接着往下讲时,有个捣蛋的学生提问,“老师,你能不能举一个三位数的素数?”。可是我手头上没有1000以内的素数表,我也没记住超过100的素数,那怎么办呢?我只好在黑板上写出几个三位数,比如173、211、463,然后跟学生说“让我们来检验这些数是不是素数”。最终的结果是:它们都是素数!然后会有学生疑问:怎么会这么巧?
素数的概率
首先的问题是,任意写一个三位数,它是素数的概率是多少?三位数的素数共有143个,三位数共有900个,于是概率应该是143/900,大约是六分之一。看起来挺低的,要“蒙中”似乎不容易。
有限素域上的乘法群是循环群
By 苏剑林 | 2015-01-20 | 86149位读者 | 引用对于任意的素数$p$,集合$\mathbb{Z}_p=\{0,1,2,\dots,p-1\}$在模$p$的加法和乘法之下,构成一个域,这是学过抽象代数或者初等数论的读者都会知道的一个事实。其中,根据域的定义,$\mathbb{Z}_p$首先要在模$p$的加法下成为一个交换群,而且由于$\mathbb{Z}_p$的特殊性,它还是一个循环群,这也是比较平凡的事实。但是,考虑乘法呢?
首先,$0$是没有逆元的,我们考虑乘法,是在$\mathbb{Z}^\cdot _p=\mathbb{Z}_p \verb|\| \{0\}=\{1,2,\dots,p-1\}$上考虑的。如果我说,$\mathbb{Z}^\cdot _p$在模$p$之下的乘法也作成一个循环群,这结论就不是很平凡的了!然而这确实是事实,对于所有的素数$p$均成立。而有了这事实,数论中的一些结论就会相当显然了,比如当$d\mid (p-1)$时,$\mathbb{Z}_p$中的$d$次剩余就只有$\frac{p-1}{d}$个了,这是循环群的基本结论。
在《数学天书中的证明》一书中,有该结论的一个证明,但这个证明是存在性的,而我在另外一本书上也看到过类似的存在性证明,也就是说,似乎流行的证明都是存在性的,它告诉我们$\mathbb{Z}^\cdot _p$是一个循环群,但是没告诉我们怎么找到它的生成元。而事实上,高斯在他的《算术探索》中就给出了一个构造性的证明。(在数论中,本文的结论是“原根”那一章的基本知识。)下面笔者正是要重复高斯的证明,供读者参考。
勒贝格(Lebesgue)控制收敛定理
By 苏剑林 | 2015-01-16 | 89146位读者 | 引用实变函数中有一个勒贝格控制收敛定理,一般认为它是判断积分和取极限可交换的很好用的方法。勒贝格控制收敛定理是说,如果定义在集合$E$上的函数列$\left\{f_n(x)\right\}$满足$|f_n(x)|\leq F(x)$,而$F(x)$在$E$上可积,那么积分和取极限就可以交换,即
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_E f_n (x)dx\right)=\int_E \left(\lim_{n\to\infty}f_n (x)\right)dx$$
本文不打算谈该定理的证明,只是谈谈该定理的应用相关的话题。首先,请有兴趣的读者,做做以下题目:
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_0^1 \frac{n^2 x}{1+n^4 x^4}dx\right)$$
当概率遇上复变:从二项分布到泊松分布
By 苏剑林 | 2015-01-13 | 26081位读者 | 引用泊松分布,适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布,如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数、汽车站台的候客人数等。[维基百科]泊松分布也可以作为小概率的二项分布的近似,其推导过程在一般的概率论教材都会讲到。可是一般教材上给出的证明并不是那么让人赏心悦目,如《概率论与数理统计教程》(第二版,茆诗松等编)的第98页就给出的证明过程。那么,哪个证明过程才更让人点赞呢?我认为是利用母函数的证明。
二项分布的母函数为
$$\begin{equation}(q+px)^n,\quad q=1-p\end{equation}$$
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