科学空间|Scientific Spaces

为什么第二篇姗姗来迟？

其实要写这系列之前，我已经构思好了接下来几篇的内容，本来想要自信地介绍自己想到的一些积分展开的技巧；而且摄动法我本身就比较熟悉，所以正常来说不会这么迟才有第二篇。然而，在我写完第一篇，准备写第二篇的期间，我看到了知乎上的这篇回复：
http://www.zhihu.com/question/24735673

这篇文章大大地拓展了我对级数的认识。里边谈及到了积分的展开是一个渐近级数。这让我犹豫了，怀疑这系列有没有价值，因为渐近级数意味着不管怎样的展开技巧，得到的级数收敛半径都是0。

后来再想想，就算是渐近级数，也有改进的空间，有加速收敛的方法，所以我想我这几篇文章，应该还有一点点意义吧，还可以顺便介绍一下渐近级数和奇点的相关理论。嗯，就这么办吧。

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某天在浏览高教社的“i数学”编辑的微博时候，发现上面有一道Knotsevich在黑板上写的他认为很有意思的题目，原始网址是：http://weibo.com/3271276117/BBrL5foVz。

Knotsevich在黑板上写的级数题目

题目是这样的
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n! (20n)!}{(4n)!(7n)!(10n)!}x^n\tag{1}$$
大概的目的是找出原函数的表达式吧。

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前段时间在研究费曼的路径积分理论，看到路径积分的微扰方法，也就是通过小参数展开的方式逐步逼近传播子。这样的技巧具有非常清晰的物理意义，有兴趣了解路径积分以及量子力学的读者，请去阅读费曼的《量子力学与路径积分》。然而从数学角度看来，这种逼近的技巧实际上非常粗糙，收敛范围和速度难以得到保证。事实上，数学上发展了各种各样的摄动技巧，来应对不同情况的微扰。下面我们研究积分
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon x^4} dx\tag{1}$$
或者更一般地
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon V(x)} dx\tag{2}$$
路径积分的级数展开比它稍微复杂一些，但是仍然是类似的形式。

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假设我是一名中学数学老师，在给学生兴致勃勃地讲“素数”，讲完素数的定义和相关性质后，正当我接着往下讲时，有个捣蛋的学生提问，“老师，你能不能举一个三位数的素数？”。可是我手头上没有1000以内的素数表，我也没记住超过100的素数，那怎么办呢？我只好在黑板上写出几个三位数，比如173、211、463，然后跟学生说“让我们来检验这些数是不是素数”。最终的结果是：它们都是素数！然后会有学生疑问：怎么会这么巧？

素数的概率

首先的问题是，任意写一个三位数，它是素数的概率是多少？三位数的素数共有143个，三位数共有900个，于是概率应该是143/900，大约是六分之一。看起来挺低的，要“蒙中”似乎不容易。

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前几天在台湾购买（淘宝代购）的《费曼统计力学》和《费曼计算学》在今天到手了，至此，我的费曼著作收藏基本完成了。

费曼重力学、统计力学和计算学

我是一个费曼迷，为费曼的小飞侠人格所吸引，为费曼的物理才能所折服。因此，我甚至像普通人追星那样追崇费曼，收藏他的书籍，还有学习他所发明的物理。

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对于任意的素数$p$，集合$\mathbb{Z}_p=\{0,1,2,\dots,p-1\}$在模$p$的加法和乘法之下，构成一个域，这是学过抽象代数或者初等数论的读者都会知道的一个事实。其中，根据域的定义，$\mathbb{Z}_p$首先要在模$p$的加法下成为一个交换群，而且由于$\mathbb{Z}_p$的特殊性，它还是一个循环群，这也是比较平凡的事实。但是，考虑乘法呢？

首先，$0$是没有逆元的，我们考虑乘法，是在$\mathbb{Z}^\cdot _p=\mathbb{Z}_p \verb|\| \{0\}=\{1,2,\dots,p-1\}$上考虑的。如果我说，$\mathbb{Z}^\cdot _p$在模$p$之下的乘法也作成一个循环群，这结论就不是很平凡的了！然而这确实是事实，对于所有的素数$p$均成立。而有了这事实，数论中的一些结论就会相当显然了，比如当$d\mid (p-1)$时，$\mathbb{Z}_p$中的$d$次剩余就只有$\frac{p-1}{d}$个了，这是循环群的基本结论。

在《数学天书中的证明》一书中，有该结论的一个证明，但这个证明是存在性的，而我在另外一本书上也看到过类似的存在性证明，也就是说，似乎流行的证明都是存在性的，它告诉我们$\mathbb{Z}^\cdot _p$是一个循环群，但是没告诉我们怎么找到它的生成元。而事实上，高斯在他的《算术探索》中就给出了一个构造性的证明。（在数论中，本文的结论是“原根”那一章的基本知识。）下面笔者正是要重复高斯的证明，供读者参考。

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实变函数中有一个勒贝格控制收敛定理，一般认为它是判断积分和取极限可交换的很好用的方法。勒贝格控制收敛定理是说，如果定义在集合$E$上的函数列$\left\{f_n(x)\right\}$满足$|f_n(x)|\leq F(x)$，而$F(x)$在$E$上可积，那么积分和取极限就可以交换，即
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_E f_n (x)dx\right)=\int_E \left(\lim_{n\to\infty}f_n (x)\right)dx$$
本文不打算谈该定理的证明，只是谈谈该定理的应用相关的话题。首先，请有兴趣的读者，做做以下题目：
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_0^1 \frac{n^2 x}{1+n^4 x^4}dx\right)$$

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泊松分布，适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布，如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数、汽车站台的候客人数等。^{[维基百科]}泊松分布也可以作为小概率的二项分布的近似，其推导过程在一般的概率论教材都会讲到。可是一般教材上给出的证明并不是那么让人赏心悦目，如《概率论与数理统计教程》（第二版，茆诗松等编）的第98页就给出的证明过程。那么，哪个证明过程才更让人点赞呢？我认为是利用母函数的证明。

二项分布的母函数为
$$\begin{equation}(q+px)^n,\quad q=1-p\end{equation}$$

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