科学空间|Scientific Spaces

在学习正项级数的时候，我们的数学分析教材提供了各种判别法，比如积分判别法、比较判别法，并由此衍生出了根植法、比值法等，在最后提供了一个比较精细的“Raabe判别法”。这些方法的精度（强度）各不相同，一般认为“Raabe判别法”的应用范围最广的。但是在我看来，基于p级数的比较判别法已经可以用于所有题目了，它才是最强的方法。

p级数就是我们熟悉的
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

通过积分判别法可以得到当p>1时该级数收敛，反之发散。虽然我不能证明，但是我觉得以下结论是成立的：

若正项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛，则总可以找到一个常数A以及一个大于1的常数p，使每项都有$a_n < \frac{A}{n^p}$。

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昨天在上“科学计算软件”课时，讲到了一个“抢15”游戏（Pick15），就是在1~9这9个数字中，双方轮流选一个数字，不可重复，谁的数字中有三个数字的和为15的，谁就是赢家。

这是个简单的游戏，属于博弈论范畴。在博弈论中有一个著名的“策梅洛定理”（Zermelo's theorem），它指出在二人的有限游戏中，如果双方皆拥有完全的资讯，并且运气因素并不牵涉在游戏中，那先行或后行者当一必有一方有必胜/必不败的策略。比如中国象棋就属于这一类游戏，它告诉我们对于其中一方必有一种必不败策略（有可能和棋，有可能胜，反正不会输）。当然，策梅洛定理只是告诉我们其存在性，并没有告诉我们怎么发现这个策略，甚至连哪一方有这种最优策略都没有给出判别方法。这是幸运的，因为如果真有一天发现了这种策略，那么像象棋这类博弈就失去了意义了。

上述的抢15游戏当然也属于这类游戏。不同于象棋的千变万化，它的变化比较简单，而且很容易看出它对先手有着明显的优势。下面我们来分析一下。

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第四个数字也完成了测试，这次的结果依然是否定的：$2^{29360741}-1$不是素数！
大概半年内不会有新的结果了，呵呵。

[Comm thread Apr 15 19:04] Sending result to server: UID: bojone/bojone, M29360741 is not prime. Res64: 622E909193F04555. We4: CA6D304A,26268761,00000000, AID:
[Comm thread Apr 15 19:04]
[Comm thread Apr 15 19:05] PrimeNet success code with additional info:
[Comm thread Apr 15 19:05] LL test successfully completes double-check of M29360741
[Comm thread Apr 15 19:05] CPU credit is 29.1976 GHz-days.
[Comm thread Apr 15 19:05] Done communicating with server.

这是第三个结果，估计明天会有第四个结果。运行完这四个后就让电脑好好休息一下了，呵呵。
同样，$2^{29365451}-1$也不是素数！

[Comm thread Apr 14 14:51] Sending result to server: UID: bojone/bojone, M29365451 is not prime. Res64: C3207F669EEAE07E. We4: 46622147,3026845,00000000, AID:
[Comm thread Apr 14 14:51]
[Comm thread Apr 14 14:51] PrimeNet success code with additional info:
[Comm thread Apr 14 14:51] LL test successfully completes double-check of M29365451
[Comm thread Apr 14 14:51] CPU credit is 29.2023 GHz-days.
[Comm thread Apr 14 14:51] Done communicating with server.

自从了解了费曼积分法之后，我就一直想着用费曼积分法来求高斯积分$\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$这个神奇的积分，但一直无果。在《数学桥》里边，作者是通过将其转变为二重积分来解决的，简洁而巧妙。但是为了显示费曼积分法的威力，我一直想找到高斯积分的其他求法。上星期在《数学物理方法》中看到作者用拉普拉斯变换求出了该积分，眼睛不禁为之一亮，不过这属于积分变换内容，属于“积分符号内取积分”的技巧，在此不作讨论。今天在网上查找资料时，在“赵洁”的一篇论文《含参变量积分》中，看到了一种属于费曼积分法范畴内的方法，特与大家分享。

从“事后分析”来看，高斯积分的结果涉及到了$\sqrt{\pi}$这个量，一般来说我们常见的公式出现$\pi$的不少，可是几乎没有出现$\sqrt{\pi}$的，所以一般来说我们都将它平方。我们引入
$$f(x)=(\int_0^x e^{-t^2}dt)^2$$

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第二个数字也测试完了，$2^{29365247}-1$也不是一个素数。继续努力！

[Comm thread Apr 9 12:22] Sending result to server: UID: bojone/bojone, M29365247 is not prime. Res64: AFA532C54A91F89B. We4: D8A82DF8,3429750,00000000, AID: C
[Comm thread Apr 9 12:22]
[Comm thread Apr 9 12:22] PrimeNet success code with additional info:
[Comm thread Apr 9 12:22] LL test successfully completes double-check of M29365247
[Comm thread Apr 9 12:22] CPU credit is 29.2021 GHz-days.
[Comm thread Apr 9 12:22] Done communicating with server.

2^29363731-1

很小的时候就开始对素数感兴趣了，后来是在一本《未解之谜》上看到了梅森素数、完全数、孪生素数等等东西，觉得甚是好玩。在初中买了计算机之后，就关注到了Prime 95这个梅森素数的分布式计算程序，以前也尝试过运行它，不过由于那时候计算机配置较低，一般都是运行到20%左右就没有坚持下去了。

上大学入手了一台四核的笔记本，就在去年10月份左右再次运行了这个程序，由于是四核，一次性可以同时测试四个数字。经过半年的运行，今天终于测试完了第一个数字：$2^{29363731}-1$。正如预料中的，这不是一个素数。不管怎样，它是我第一个完成的测试，也算是自己的一个独立的成果啦，呵呵，自娱自乐一番。

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在本系列的第五篇文章中，BoJone导出了一些看似不合理的公式，而且并没有说明它的应用和来源。其实，这些都是我在研究以下积分的时候总结出来的：

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos x}{a^2+x^2}dx$$

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