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有理直角三角形的面积能否为整数?
By 苏剑林 | 2011-08-21 | 37415位读者 | 引用这是一个古老而有趣的问题,但在引入这个问题之前,我们首先来看一个简单的问题:
整数边直角三角形的面积能否为一个完全平方数?
答案是不能。我们可以举一些例子来检验一下,例如边长为3,4,5的直角三角形面积为6,6不是一个平方数;再如边长为5,12,13的直角三角形面积为30,30也不是一个平方数...当然,数学的最近目的是要求严格证明,而不是简单举例,否则就只得称为不完全归纳,这样得出来的是一个猜想,而不是“定理”,就好象著名的“哥德巴赫猜想”...本文我们将试图证明这个命题。
我们稍后还会发现,这个问题和以下问题是等价的:
是否存在一个面积为1的三边长都是有理数的直角三角形?
更让人意外的是,这个问题也等价于方程$x^4+y^4=z^4$并没有整数解,换句话说,我们要证明n=4时的“费马大定理”!
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