算子与线性常微分方程(上)
By 苏剑林 | 2012-11-30 | 35919位读者 | 引用简介
最近在学习量子力学的时候,无意中涉及到了许多矩阵(线性代数)、群论等知识,并且发现其中有不少相同的思想,其中主要是用算子来表示其对函数的作用和反作用。比如我们可以记$D=\frac{d}{dx}$,那么函数$f(x)$的导数就可以看作是算子D对它的一次作用后的结果,二阶导数则是作用了两次,等等。而反过来,$D^{-1}$就表示这个算子的反作用,它把作用后的函数(像)还原为原来的函数(原像),当然,这不是将求导算子做简单的除法,而是积分运算。用这种思想来解答线性微分方程,有着统一和简洁的美。
线性微分方程是求解一切微分方程的基础,一般来说它形式比较简单,多数情况下我们都可以求出它的通解。在非相对论性量子力学的薛定谔方程中,本质上就是在求解一道二阶偏线性微分方程。另一方面,在许多我们无法求解的非线性系统中,线性解作为一级近似,对于定性分析是极其重要的。
一阶线性常微分方程
这是以下所有微分方程求积的一个基础形式,即$\frac{dy}{dx}+g(x)y=f(x)$的求解。这是通过常数变易法来解答的,其思想跟天体力学中的“摄动法”是一致的,首先在无法求解原微分方程的时候,先忽略掉其中的一些小项,求得一个近似解。即我们先求解
$$\frac{dy}{dx}+g(x)y=0$$
为什么是抛物线?——聚光面研究
By 苏剑林 | 2010-11-07 | 77946位读者 | 引用警察捉贼,追牛问题,导弹跟踪
By 苏剑林 | 2010-11-06 | 43978位读者 | 引用王二小的牛跑了,当他发现时,牛在他正南方300米。且一直向正西方向匀速的跑,王二小立即追牛,他不是朝着一个固定的方向,而是每时每刻都朝着牛的方向跑,且速度是牛速度的4/3倍。当他追上牛时王二小共跑了多远?
问题分析
咋看起来,追牛和导弹是风牛马不相及的两件事:一个是生活小事,一个是物理问题,怎么能够扯到一块呢?
回想一下平时警察抓小偷的过程。警察不是物理学家,不会也可不能先去研究小偷的逃走路线函数,然后设计最小追赶时间的路程吧?那么,在不能预知小偷逃跑路线的前提下,警察要怎样捉小偷呢?很简单,盯死他!是的,只要你以更快的速度,一直朝着他跑,总能够追到的。继续联想下:要想用导弹跟踪摧毁一首敌舰,不也是只能够采用这种方式吗?回看文章开始的“追牛问题”,本质上不是一样的吗?以下是上海交大提出的导弹跟踪问题:
这个星期对微分方程的认识
By 苏剑林 | 2010-11-06 | 30137位读者 | 引用这个星期研究了两道微分方程问题:“导弹跟踪”以及“太阳炉”问题。从中我加深了对微分方程的理解,也熟悉了微分方程的相关运算。仅此记录,权当抛砖引玉。
一、微分方程的本质
很多读者都知道,自从牛顿和莱布尼兹发明微积分之后,微积分就迅速地渗透到了几乎所有的学科,后来发展出许多出色的分支,如变分、微分方程等。众所周知,微分方程是解决很多重要问题的工具。不知道各位读者对微分及微分方程的认识如何?其实对于常微分方程而言,它的本质和我们已经学习过的代数方程一样,只不过相互之间的对应运算关系除了常规的加减乘除幂等之外,还多了两个相互关系:微分和积分。例如对于一阶微分方程$\dot{y}=f(x,y)$,也许大家都认为它是一个二元方程,其实不然,这是一个“四个未知数、三道方程”所组成的方程组,我们可以将它写成
$$dy=f(x,y)dx,y=\int dy,x=\int dx$$
《向量》系列——5.平面向量微分方程与复数
By 苏剑林 | 2010-10-03 | 17912位读者 | 引用旋转的弹簧将如何伸长?
By 苏剑林 | 2010-07-30 | 84341位读者 | 引用关于自由落体公式的简单修正
By 苏剑林 | 2010-04-04 | 58784位读者 | 引用自由落体的一般定义是:只考虑吸引天体和被吸引天体的引力因素,忽略其他的运动和大气摩擦等因素,物体从静止(相对于吸引天体)开始接近吸引天体的运动。根据这个定义,假设地球为一个均匀球体,半径为r,质量为M,物体从距离地表h高度处自由落下。求落到地面的时间t,或者根据时间t求h。
令s为t时刻物体左右下落的物体与地表的距离,忽略物体的小质量,那么可以列出微分方程:
$$\frac{d^2 s}{dt^2}=-\frac{GM}{(r+s)^2}\tag{1}$$并且初始条件是$t=0,s=h,\dot{s}=v=0$
在实际应用中,我们不必求出这道微分方程的精确解,因为这个解极其麻烦,在之前曾经讨论过。我们只需要求出一个有足够精确度的近似解就行。
《方程与宇宙》:二体问题的来来去去(一)
By 苏剑林 | 2010-03-20 | 80695位读者 | 引用为了让大家能够查询到“天体力学”方面的内容,同时锻炼我的表达和计算能力,BoJone构思了《方程与宇宙》这个主题,主要是写一些关于使用数学相对深入地讨论一些天文问题。其实我一直觉得,不用公式是无法完美地描述科学的(当然也不能纯公式),我记得霍金的《时间简史》以及《果壳中的宇宙》等之类的书,都力求不用或者尽可能少用数学公式来表达自己的观点。这种模式对于对于公众来说是很好的,但是对于希望深入研究的朋友来说却难以进行。所以我主张:宇宙是算出来的!
这个主题每一个字都是由BoJone敲击出来的,其中包括引用了《天体力学引论》里面的一些内容,以及加入了BoJone个人的一些见解。由于篇幅长及时间有限问题,BoJone打算分若干次撰写发布,并且尽可能写得通俗一点,力求让有一点微积分基础的朋友就可以弄懂。这里首先发布第一部分。由于时间匆忙等原因,可能会出现一些疏忽,欢迎大家挑错!
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