高斯说过“数学是科学的皇后,而算术则是数学的女王。”这里的“算术”,其实就是我们现在所说的数论。从很小的时候开始,我便对数论情有独钟。虽然后来接触了很多更为有趣的数学分支,但是对数学的热情依然不减。我想,这大概是因为小时候的情结吧。小学时候,小小年纪的我,刚刚学完素数、合数、约数、整除等等概念,对数字尤其有兴趣。我想,在那时候我唯一能够读懂的数学难题只有数论这一领域吧。比如费马大定理,$x^n+y^n=z^n$,对于n大于2没有正整数解,很容易就知道它在讲什么;再比如,哥德巴赫猜想,每个大于4的偶数都可以分拆成两个奇素数之和,也很简单就弄懂它讲的是什么。所以,小小的我看懂了这些问题后就饶有兴致地摆弄数字啦,也许正因为如此,才让我对数字乃至对数学都有深厚的爱。

哥德巴赫猜想,无疑是数论中的一个璀璨明珠,可是目前来讲,它还是可望不可即的。一个看似如此简单的猜想,却困惑了数学家几百年,至今无人能解。尽管如此,我还是愿意细细地研究它,慢慢地品味它,在“论证”、或者说验算它的时候,欣赏到数学那神秘的美妙。本文主要就是研究给定偶数的“哥德巴赫分拆数”,即通过实际验算得出每个偶数分拆为两个素数之和的不同分拆方式的数目,比如6=3+3,只有一种分拆方式;8=3+5=5+3;有两种分拆方式;10=3+7=5+5=7+3,有三种分拆方式;等等。偶数2n的分拆数记为$G_2 (2n)$。

(这里定义的“分拆数”跟网上以及一般文献中的定义不同,这里把3+5和5+3看成是两种分拆方式,而网上一般的定义是只看成一种。我这里的定义的好处在于分拆方式的数目实际表示了分拆中涉及到的所有素数的个数。)

哥德巴赫猜想很难,这话没错,但是事实上哥德巴赫猜想是一个非常弱的命题。它说“每个大于4的偶数至少可以分拆成两个奇素数之和”,用上面的术语来说,就是每个偶数的“哥德巴赫分拆数”大于或等于1。可是经过实际验算发现,偶数越大,它的哥德巴赫分拆数越大,两者整体上是呈正相关关系的,比如$G_2 (100)=12,G_2 (1000)=56,G_2 (10000)=254$......所以,从强弱程度上来讲,这和“少于n的素数至少有一个”是差不多的(当然,难度有天壤之别)。

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