17 Oct

《量子力学与路径积分》习题解答V0.2

由于在实习中,事情比较多,做题时间比较少。并且越往后题目难度越大,因此习题解答的更新速度也慢了。现在是0.2版本,基本完成了前五章的习题,并且整理了版面,还加入了新版《量子力学与路径积分》的勘误。

如有问题,请指出,谢谢。

下载:《量子力学与路径积分》习题解答V0.2.pdf

14 Sep

《量子力学与路径积分》习题解答V0.1

忘了告诉大家,笔者是师范生,目前大四了,按照计划,我已经在一所高中实习了,因此,这两个月更新可能不怎么多,回复也不及时,请大家见谅。

趁这两个月时间,每天做一点《量子力学与路径积分》中的习题,整理与大家分享。目前是V0.1版,暂时只有第二三章的大部分习题解答。
《量子力学与路径积分》习题解答.png

阅读剩余部分...

5 Jan

不确定性原理的矩阵形式

作为量子理论的一个重要定理,不确定性原理总是伴随着物理意义出现的,但是从数学的角度来讲,把不确定性原理的数学形式抽象出来,有助于我们发现更多领域的“不确定性原理”。

本文中,我们将谈及不确定性原理的n维矩阵形式。首先需要解释给大家的是,不确定性原理其实是关于“两个厄密算符与一个单位向量之间的一条不等式”。在量子力学中,厄密算符对应着无穷维的厄密矩阵;而所谓厄密矩阵,就是一个矩阵同时取共轭和转置之后,等于它自身。但是本文讨论一个更简单的情况,那就是n维实矩阵,n维实矩阵中的厄密矩阵就是我们所说的实对称矩阵了。

设$\mathbf{x}$是一个n维单位向量,即$|\mathbf{x}|=1$,而$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$是n阶实对称矩阵。在量子力学中,$\mathbf{x}$就是波函数,但是在这里,它只不过是一个单位实向量;并记$\mathbf{I}$是n阶单位阵。

考虑
$$\bar{A}=\mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x},\bar{B}=\mathbf{x}^{T}\mathbf{B}\mathbf{x}$$
从这些记号可以看出,这些量对应着可观测量的期望值。当然,如果不懂量子力学,可以只看上面的矩阵形式。

阅读剩余部分...

16 Jan

轻微的扰动——摄动法简介(1)

为了计算实际问题,我们总会采用各种各样的理想模型。一般而言,一个模型越接近实际现象,它往往会越复杂。而忽略掉多数微小的干扰,只保留一些主要的项,这通常可以得到一个相当简单、能够精确解出的模型。以这样的一个可以精确解出的近似模型为基础,逐渐地把微小项的影响添加进去,使得我们的答案越来越准确,这就是摄动法的思想,也称作“微扰理论”。这种方法源于求解天体力学的N体问题,而现在已经发展成为一门相当系统的学科,并应用到了相对多的领域,如量子力学、电子理论等。

其实不难发现,实际问题中存在不少这样的例子,即当我们要计算某个现象时,先考虑最突出的,然后再考虑细节。比如说,要计算地球的轨道,先把它看成一个与太阳组成的纯粹的二体系统,然后把各种微小效应加进去,比如月球的影响、各大行星的影响甚至由于地球的不规则形状所产生的影响等。当然,不仅仅是这一类复杂的“大问题”,我们平常可能会遇到的一些“小问题”有可能也让摄动法派上用场。本文试图将摄动法介绍给各位读者。

摄动法的主要步骤是先忽略微小影响(令小参数为0),求出精确解;然后把所要求的解表达为关于小参数的幂级数。这个方法可以用于解答代数方程、微分方程等等各种领域。下面先以一个简单的代数方程来说明:

一、求解方程:$\varepsilon x^3+x^2=p^2$

阅读剩余部分...

16 Jan

新科学家:割裂时间空间,统一相对论量子论

这篇文章源于《新科学家》2010年8月7日刊,它介绍了物理学家Horava为了统一相对论和量子力学,把广义相对论的时空联系割裂的尝试。在相对论中,时间和空间结合成了不可分割的整体。而现在,有物理学家却要把时间与空间分开,来建立让广义相对论和量子力学相调和的统一理论。我对这个理论挺感兴趣的,当然,我还没有能力弄懂它。只是它符合了我们大多数人的一个直觉,就是时间总有跟空间不同的地方,它们之间不应该完全等同起来。不过,事实如何,只有未来的实验能够严重了。

本文并没有官方的中文译文,现载的译文来自“译言网”。译文有一些翻译不大正当的地方,由于时间限制,无法一一修正,但是我觉得对于理解本文内容已经足够了。如果有疑问,不妨参考后边的英文原文,并在此提出与大家讨论。

对爱因斯坦的反思:空间-时间耦合的物理数学的终结

纠结于融合引力和量子力学的物理学家们正向着一个受到铅笔芯启发的理论欢呼雀跃,这个理论可以很简单地让他们取得成功。

它曾是一个改变了我们思考空间和时间的方式的报告。那一年是1908年,德国数学家赫尔曼-闵可夫斯基正尝试着理解爱因斯坦火热的新思想——即我们现在所熟知的狭义相对论,它描述当物质运动很快时它们是如何收缩以及时间是如何扭曲的。“从此独立的空间和时间将注定淡出到纯粹的虚幻中,”闵可夫斯基说道:“而只有两者的统一才能保证一个独立的现实世界。”

阅读剩余部分...

14 Jan

诡异的Dirac函数

量子力学中有一个很诡异的函数——Dirac函数,它似乎在物理的不少领域都有很大作用,它也具有明显的物理意义,但认真地看它却又感觉它根本就不是函数!这个“似而非是”的东西究竟是什么呢?让我们从一个物理问题引入:

设想一条质量为1,长度为$2l$的均匀直线,很显然直线的密度为$\rho=\frac{1}{2l}$;将直线的中点放置于坐标轴的原点,我们就有
$$\rho(x)=\left\{ \begin{array}{c}\frac{1}{2l} (-l \leq x \leq l)\\0 (x < -l , x > l)\end{array}\right.$$

所以有
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x)dx=1$$

阅读剩余部分...

27 Dec

费曼路径积分思想的发展(四)

4、量子场论中的泛函方法

路径积分出现之初,大多数物理学家反映都很冷淡,甚至怀疑它的正确性。这一方面是对路径积分方法的陌生与误解所致。在泊珂淖会议上,玻尔就把费曼图误解成粒子运动的轨迹,并对之进行了尖锐的批评。([19],P.459)另一方面,费曼并没有用公理化的方法,从作用量或拉格朗日量出发系统地推导出费曼规则,他是靠经验、猜测、检验和比较来给出与各种图相应的规则的。尽管如此,费曼却能把他的方法推广到当时热门的介子理论,并且只需一个晚上就可解决他人用正则哈密顿方法要用几个月的时间才能解决的问题。费曼方法的有效性,使戴逊大为惊讶,并促使他相信路径积分“必定是根本上正确的”([1],P.54)理论。随之,戴逊便决定把“理解费曼(的思想)并用一种他人能理解的语言来加以阐述”([1],p.54)作为自己的主要工作。1948年,戴逊成功地证明了朝永振一朗、施温格和费曼三人的理论“在其共同适用领域内”[25]的等价性。费曼的粒子图像的路径积分方法由此改头换面,变成了场论形式的泛函积分方法。

阅读剩余部分...

27 Dec

费曼路径积分思想的发展(三)

3、费曼图和量子电动力学的重整化

在1947年美国避难岛(Shelter Island)会议上,兰姆报导了他的重大发现,即现今所称的兰姆位移;氢原子的$2S_{\frac{1}{2}}$能级比$2P_{\frac{1}{2}}$高出约1000MHz。而按照狄拉克理论,对纯库仑相互作用的电子-质子系统,这两个能级应该是简并的。人们很快就认识到,该位移应归之于一阶近似的辐射校正[19]。贝特用一个电子的校正质量就非相对论近似得出了氢原子nS能级的位移公:

$$\frac{8}{3\pi}(\frac{e^2}{\hbar c})Ry \frac{Z^4}{n^3} Ln\frac{K}{ < E_n-E_m > _{AV}}$$

阅读剩余部分...