20 Jan

有限素域上的乘法群是循环群

对于任意的素数$p$,集合$\mathbb{Z}_p=\{0,1,2,\dots,p-1\}$在模$p$的加法和乘法之下,构成一个域,这是学过抽象代数或者初等数论的读者都会知道的一个事实。其中,根据域的定义,$\mathbb{Z}_p$首先要在模$p$的加法下成为一个交换群,而且由于$\mathbb{Z}_p$的特殊性,它还是一个循环群,这也是比较平凡的事实。但是,考虑乘法呢?

首先,$0$是没有逆元的,我们考虑乘法,是在$\mathbb{Z}^*_p=\mathbb{Z}_p \verb|\| \{0\}=\{1,2,\dots,p-1\}$上考虑的。如果我说,$\mathbb{Z}^*_p$在模$p$之下的乘法也作成一个循环群,这结论就不是很平凡的了!然而这确实是事实,对于所有的素数$p$均成立。而有了这事实,数论中的一些结论就会相当显然了,比如当$d\mid (p-1)$时,$\mathbb{Z}_p$中的$d$次剩余就只有$\frac{p-1}{d}$个了,这是循环群的基本结论。

在《数学天书中的证明》一书中,有该结论的一个证明,但这个证明是存在性的,而我在另外一本书上也看到过类似的存在性证明,也就是说,似乎流行的证明都是存在性的,它告诉我们$\mathbb{Z}^*_p$是一个循环群,但是没告诉我们怎么找到它的生成元。而事实上,高斯在他的《算术探索》中就给出了一个构造性的证明。(在数论中,本文的结论是“原根”那一章的基本知识。)下面笔者正是要重复高斯的证明,供读者参考。

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30 Oct

只有两个四阶群和六阶群

我们上近世代数课的时候,老师谈到在同构意义之下只有两个不同的四阶群,六阶群也是只有两个,还说到这是代数的研究生入学考试题目。说到这样了,我就饶有兴致地研究了一下,发现只有两个互不同构的四阶群这几乎是显然的,感觉这题用来做研究生考试题太水了吧?接着分析了一下六阶的情况,发现复杂了不少(元素增加)。而今天在实变函数课的时候,想到了一个简化的技巧,遂也证明了只有两个互不同构的六阶群。把结果和研究过程贴在这里,与大家分享。

两个四阶群

不管是四阶群还是六阶群,它们都是有限群。有限群的一个特点就是,可以把它们的乘法表写出来(只要不怕麻烦~~)。既然要研究四阶群的数目,我们只需要列出四阶群的乘法表就行了。设四阶群为$G_4=\{e, a, b, c\}$,其中$e$是单位元,根据这些信息,我们至少可以写出乘法表的一部分:
$$\begin{array}{c|cccc}
\cdot & e & a & b & c \\
\hline
e & e &a &b &c \\
a & a & & & \\
b & b & & & \\
c & c & & & \end{array}$$

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28 May

两本通俗读物:混沌和对称

第一本:《天遇——混沌与稳定性的起源》

一个天体力学中的N体问题的研究,竟然发展出了如此多的现代数学理论,这不能不说是一个令人意外的事情。而事实上,N体问题至今仍是无解,这也许并非坏事,因为未被完全攻克,就意味着“N体问题”仍然还是一只“会下金蛋的母鸡”!

本书是普林斯顿文集之一。作者通过大众化的语言,叙述了天体力学和动力系统理论的历史发展,让读者感到其中那激动人心的故事。BoJone认为,要想了解分析动力学(尤其是天体力学)的发展,本书是一本难得的读物。作为混沌和稳定性理论的入门前读物,本书也是非常适合的。读历史的关键是:学会思想!

豆瓣:http://book.douban.com/subject/1048552/

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29 Apr

从对称角度看代数方程

大马国油双峰塔.jpg这些日子来,BoJone迷上了两个东西:最小作用量和对称。这两个“东西”在物理学中几乎占据着最重要的地位,前边已经说过,通过最小作用量原理能够构建起当代整个物理学的框架,体现着自然界的“经济头脑”;后者则是守恒的体现,也对应着自然界的“美感”。本文主要是从最简单的层面谈谈对称。

对称的东西很重要,很美。当然,这里所指的是数学上的对称。数学上有很多问题都可以列出对称的式子,而且由于其对称性,因此求解过程一般比不对称的式子简单不少。据说,当代最前沿的物理学框架都是用群论描述的(包括广义相对论),而群论正是用来研究对称的有力工具,可见,对称和对称的方法在实际中有着广泛的应用。(当然本文不讨论群论,关键是BoJone也不懂群论...^_^)

我们先来看二次方程,根据韦达定理,二次方程都可以表达成下面的形式:
$x_1+x_2=a$
$x_1 x_2=b$

这是一个多对称的形式!这里的对称体现在将$x_1,x_2$互相替换后方程形式依然不变。如果我们设$x_1=y_1+y_2,x_2=y_1-y_2$,就可以变成
$2y_1=a,y_1^2-y_2^2=b$

这样很快就求出$y_1,y_2$了,继而能够求出方程的两个根。

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