25 Feb

翻到新的维度,把积分解决!

一般来说,如果原函数容易找到的话,牛顿-莱布尼兹公式是定积分的通用方法。但是牛顿-莱布尼兹公式只适合连续函数的积分,如果积分区间含有奇点,那就不成立了。比如,我们考虑积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx$$
当然,从严格的数学上来说,这种写法是不成立的,因为被积函数在原点没有意义。当然,从物理的角度来考虑,由于对称性,我们确信
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx=2\int_{0}^1 \frac{1}{x^2}dx=\lim_{\varepsilon\to 0}2\int_{\varepsilon}^1 \frac{1}{x^2}dx$$
从而得出积分发散的结论。这种处理某种程度上是可以接受的,但是却不是让人满意的,因为它导致了分段。有什么办法可以直接处理这种情况呢?确实有的,同样引入参数,并且最终让参数为0,考虑带参数的积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2+\varepsilon^2}dx$$
只要参数为正,这个被积函数就在$\mathbb{R}$上处处连续了,也就是奇点消失了,这样子就可以用牛顿-莱布尼兹公式了
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2+\varepsilon^2}dx=\left.\frac{1}{\varepsilon}\arctan\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\right|_{-1}^{1}$$
考虑$\varepsilon\to 0$的情况,就自动得到了积分发散的结论。

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1 May

相对论、对称和第四维

这篇文章其实在年初就完成了。

众所周知,我们生活在一个平坦的世界中。正如我们能够感受到的那样,在这个被称为“欧几里得平直空间”的世界里,空间里两点间的最短曲线是两点间的直线段,空间里的任意直角三角形都满足勾股定理,每个物体都有着自己的长、宽、高,它们都随着时间的流逝而运动着。这种世界观把时间独立于空间之外,作为一个独特的研究对象。但是自爱因斯坦在1905年发表狭义相对论以来,我们的宇宙就被描述成为了由三维空间和一维时间组成的“四维时空”,在这里,时间和空间的地位是等价的。不少同好们也许会感到非常困惑:即使证明了时间与空间的确存在着某种联系,也不必要把时间描述成是世界的一维吧?在我们的感官里,时间明明就和空间的三维差别甚大,时间和空间怎么能够等同起来呢?其实答案很简单:为了美。把时间看成与空间等价的一维之后,整个力学体系体现出一种前所未有的对称美,这种美不仅让人赏心悦目,而且极大地方便了我们进一步处理问题。

对称

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