5 Aug

两道无穷级数:自然数及其平方的倒数和

证明下列级数发散或者收敛:
(1) $\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ...$
(2) $\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ...$

一眼看上去,由于$1/x,1/{x^2}$都会趋向零,所以它们应该是收敛的。真的是这样吗?

阅读剩余部分...

2 Aug

一道级数求和证明题(非数学归纳法)

今天在数学研发论坛看到了一道题目:

$\sum_{j=0}^{j=n} (jx^j)={nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}/{(x-1)^2}$

这道题实际是求$x+2x^2+3x^3+...+nx^n$的求和公式而已。

本来呢用数学归纳法是十分简单的(数学归纳法对于证明简单,对于推导就不行了),但是题目说不能用数学归纳法。只好用以下方法了。

阅读剩余部分...