21 Aug

有理直角三角形的面积能否为整数?

这是一个古老而有趣的问题,但在引入这个问题之前,我们首先来看一个简单的问题:

整数边直角三角形的面积能否为一个完全平方数?



答案是不能。我们可以举一些例子来检验一下,例如边长为3,4,5的直角三角形面积为6,6不是一个平方数;再如边长为5,12,13的直角三角形面积为30,30也不是一个平方数...当然,数学的最近目的是要求严格证明,而不是简单举例,否则就只得称为不完全归纳,这样得出来的是一个猜想,而不是“定理”,就好象著名的“哥德巴赫猜想”...本文我们将试图证明这个命题。

我们稍后还会发现,这个问题和以下问题是等价的:
是否存在一个面积为1的三边长都是有理数的直角三角形?

更让人意外的是,这个问题也等价于方程$x^4+y^4=z^4$并没有整数解,换句话说,我们要证明n=4时的“费马大定理”

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7 Aug

梅森素数的探索之旅

2009年5月22日,对于很多人来说并不是什么特别的日志,不过数学界这边又传来了一个“喜讯”:我们已经找到了第47个梅森素数,即$2^{42643801}-1$是一个素数!新的素数已于6月12日通过法国的Tony Reix的验证,这是目前的第二大素数,有12,837,064位数字!这是通过参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目而发现的。让我们来共同回顾这一素数之旅!

素数/梅森素数

素数,现在课本上都已经成为“质数”了,不过目前很多数学家、爱好者都还是将其称为素数(也许这个名字好听)。这是指一些不可分解成两个比它本身小的两个整数相乘的形式的数,如2、3、5、7等。除了2外,所有的素数都是奇数。

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