26 May

胡闹的胜利:将算子引入级数求和

在文章《有趣的求极限题:随心所欲的放缩》中,读者“最近倒了”提出了一个新颖的解法,然而这位读者写得并非特别清晰,更重要的是里边的某些技巧似乎是笔者以前没有见过的,于是自行分析了一番,给出了以下解释。

胡闹的结果

假如我们要求级数和
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A_k}{n^k}$$
这里$A_0=1$。一般而言,我们用下标来标注不同的数,如上式的$A_k,\,k=0,1,2,\dots$,可是有的人偏不喜欢,他们更喜欢用上标来表示数列中的各项,他们把上面的级数写成
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A^k}{n^k}$$
可能读者就会反对了:这不是胡闹吗,这不是让它跟分母的n的k次幂混淆了吗?可是那人干脆更胡闹一些,把级数写成
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A^k}{n^k}=\left(1+\frac{A}{n}\right)^n$$
看清楚了吧?他干脆把$A$当作一个数来处理了!太胡闹了,$A$是个什么东西?估计这样的孩子要被老师赶出课堂的了。

可是换个角度想想,似乎未尝不可。

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27 Oct

算符的艺术:差分、微分与伯努利数

两年前,笔者曾写过《算子与线性常微分方程》两篇,简单介绍了把线形常微分方程算符化,然后通过对算符求逆的方法求得常微分方程的通解。而在这篇文章中,笔者打算介绍关于算符类似的内容:差分算符、微分算符以及与之相关的伯努利数(Bernoulli数)。

我们记$D=\frac{d}{dx}$,那么$Df=\frac{df}{dx}$,同时定义$\Delta_t f(x)=f(x+t)-f(x)$,并且记$D \equiv D_1 =f(x+1)-f(x)$,这里我们研究的$f(x)$,都是具有良好性态的。我们知道,$f(x+t)$在$t=0$附近的泰勒展式为
$$\begin{aligned}f(x+t)&=f(x) + \frac{df(x)}{dx}t + \frac{1}{2!}\frac{d^2 f(x)}{dx^2}t^2 + \frac{1}{3!}\frac{d^3 f(x)}{dx^3}t^3 + \dots\\
&=\left(1+t\frac{d}{dx}+\frac{1}{2!}t^2\frac{d^2}{dx^2}+\dots\right)f(x)\\
&=\left(1+tD+\frac{1}{2!}t^2 D^2+\dots\right)f(x)\end{aligned}$$

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30 Nov

算子与线性常微分方程(下)

不可交换

很自然会想到把这种方法延伸到变系数微分方程的求解,也许有读者回去自己摆弄了一下却总得不到合适的解而感到困惑。在这里群的非Abel性就体现出来了,首先用一个例子来说明一下,我们考虑算子的复合
$$(D-x)(D+x)=D^2-x^2+(Dx-xD)$$

我们要谨慎使用交换律,我们记$[P,Q]=PQ-QP$

其中P和Q是两个算子,此即量子力学中的“对易式”,用来衡量算子P和算子Q的可交换程度,当然,它本身也是一个算子。我们先来求出$[D,x]$给出了什么(要是它是0的话,那就表明运算可以交换了)。究竟它等于什么呢?直接看是看不出的,我们把它作用于一个函数:
$$[D,x]y=(Dx-xD)y=D(xy)-xDy=yDx+xDy-xDy=y$$

由于“近水楼台先得月”,所以$Dxy$表示x先作用于y,然后D再作用于(xy);而$xDy$表示D先作用于y,然后x再作用于Dy。最终我们得到了

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30 Nov

算子与线性常微分方程(上)

简介

最近在学习量子力学的时候,无意中涉及到了许多矩阵(线性代数)、群论等知识,并且发现其中有不少相同的思想,其中主要是用算子来表示其对函数的作用和反作用。比如我们可以记$D=\frac{d}{dx}$,那么函数$f(x)$的导数就可以看作是算子D对它的一次作用后的结果,二阶导数则是作用了两次,等等。而反过来,$D^{-1}$就表示这个算子的反作用,它把作用后的函数(像)还原为原来的函数(原像),当然,这不是将求导算子做简单的除法,而是积分运算。用这种思想来解答线性微分方程,有着统一和简洁的美。

线性微分方程是求解一切微分方程的基础,一般来说它形式比较简单,多数情况下我们都可以求出它的通解。在非相对论性量子力学的薛定谔方程中,本质上就是在求解一道二阶偏线性微分方程。另一方面,在许多我们无法求解的非线性系统中,线性解作为一级近似,对于定性分析是极其重要的。

一阶线性常微分方程

这是以下所有微分方程求积的一个基础形式,即$\frac{dy}{dx}+g(x)y=f(x)$的求解。这是通过常数变易法来解答的,其思想跟天体力学中的“摄动法”是一致的,首先在无法求解原微分方程的时候,先忽略掉其中的一些小项,求得一个近似解。即我们先求解
$$\frac{dy}{dx}+g(x)y=0$$

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