26 Nov

求解微分方程的李对称方法(二)

由于重装系统时的粗心大意,笔者把《求解微分方程的李对称方法》的Word文档弄丢了,更不幸的是存有该文档的U盘也弄丢了~没办法,只好重新把这篇文章录入了。幸好之前曾把它打印成纸质版,还有旧稿可以参考。现发布《求解微分方程的李对称方法(二)》,希望能够为对李对称方法有兴趣的朋友提供些许资源。

相比(一),(二)将所有内容重新用CTex录入了,果然,$\LaTeX$才是写数学论文软件中的佼佼者,虽然是纯代码编辑,但是这正符合我追求简洁清晰的风格。在内容上,(二)增加了一阶常微分方程组的内容,并对(一)的部分细节做了修改,本文完成后就初步相对完整地叙述了一阶常微分方程组的李对称积分的思路,内容增加到了13页。而在接下来的(三)中,将会提供李代数的内容;如果有(四)的话,就会谈到李对称方法的计算机实现。希望大家会喜欢这系列文章。更期待大家的读后感(包括挑错)^_^

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29 Oct

求解微分方程的李对称方法(一)

马里乌斯·索菲斯·李.jpg在这篇日志发表之前,科学空间在整个十月就只是在国庆期间发了一篇小感想,这是比较少见的。一个小原因是这学期社团(广播台)方面的活动有点多,当然这不是主要的,其实这个月我大多数课余时间放到了两件事情上:一是无线电路的入门,二就是本文所要讲的《求解微分方程的李对称方法》

李对称方法主要是通过发现微分方程的对称性来求解微分方程。我首次接触到这个方法是在一本叫《微分方程与数学物理问题》的书上边,书中写得很清晰易懂,后来我还买了类似的《微分方程的对称与积分方法》,后者相对抽象一些,讨论也深入一些。在我目前发现的中文书籍中,这是唯一的两本以李对称方法求解微分方程为主题的书。这两本书还有一个共同特点,就是它们都是外国教材的翻译版。

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9 Sep

[欧拉数学]找出严谨的答案

在之前的一些文章中,我们已经谈到过欧拉数学。总体上来讲,欧拉数学就是具有创造性的、直觉性的技巧和方法,这些方法能够推导出一些漂亮的结果,而方法本身却并不严密。然而,在很多情况下,严密与直觉只是一步之遥。接下来要介绍的是我上学期《数学分析》期末考的一道试题,而我解答这道题的灵感来源便是“欧拉数学”。

数列${a_n}$是递增的正数列,求证:$\sum_{n=1}^{\infty}(1-\frac{a_n}{a_{n+1}})$收敛等价于${a_n}$收敛。

据说参考答案给出的方法是利用数列的柯西收敛准则,我也没有仔细去看,我在探索自己的更富有直觉型的方法。这就是所谓的“I do not understand what I can not create.”。下面是我的思路。

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14 Apr

费曼积分法(8):求高斯积分

自从了解了费曼积分法之后,我就一直想着用费曼积分法来求高斯积分$\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$这个神奇的积分,但一直无果。在《数学桥》里边,作者是通过将其转变为二重积分来解决的,简洁而巧妙。但是为了显示费曼积分法的威力,我一直想找到高斯积分的其他求法。上星期在《数学物理方法》中看到作者用拉普拉斯变换求出了该积分,眼睛不禁为之一亮,不过这属于积分变换内容,属于“积分符号内取积分”的技巧,在此不作讨论。今天在网上查找资料时,在“赵洁”的一篇论文《含参变量积分》中,看到了一种属于费曼积分法范畴内的方法,特与大家分享。

从“事后分析”来看,高斯积分的结果涉及到了$\sqrt{\pi}$这个量,一般来说我们常见的公式出现$\pi$的不少,可是几乎没有出现$\sqrt{\pi}$的,所以一般来说我们都将它平方。我们引入
$$f(x)=(\int_0^x e^{-t^2}dt)^2$$

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27 Mar

费曼积分法(7):欧拉数学的综合

在本系列的第五篇文章中,BoJone导出了一些看似不合理的公式,而且并没有说明它的应用和来源。其实,这些都是我在研究以下积分的时候总结出来的:

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{cos x}{a^2+x^2}dx$

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24 Mar

费曼积分法(6):教科书上的两道练习题

我们的《数学分析》教程上有两道比较有趣的定积分,经测试可以用费曼积分法的思路解决。

$\int_0^1 \frac{ln(1+x)}{1+x^2}dx$

$\int_0^{\pi} \frac{x sin x}{1+cos^2 x}dx$

No.1

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24 Mar

费曼积分法(5):欧拉数学的传承

在大学第二学期,我们的《数学分析》终于龟速地爬行到了定积分这一章节。对于一些比较复杂的定积分,我总想用自己的方法来解决它,这就重新燃起了我对“费曼积分法——积分符号内取微分”的热情。尤其是我用费曼积分法解决了几道比较有趣复杂的定积分问题时,成就感高涨,遂在此总结,与大家共勉。

这和欧拉数学有什么关系呢?之前已经提到过,欧拉数学是用一种不严谨却极具创造性的方式,给予我们对数学的介乎感性和理性的直观理解。我觉得费曼积分法也属于这个范畴内,它着眼于用一种特殊的视角解决问题,而暂时忽略掉数学严密性。在读费曼的故事中,我感觉到这种思想是贯穿他一生的研究之中的。

本文继续对费曼积分法的研究,得出一些不是很严谨的结论,为以后的应用奠下基础。

一、不成立的函数

首先我们重新考虑$\int_0^{\infty} \frac{sin x}{x}dx$。这一次我们将它引入复数范畴内,考虑:
$\int_0^{\infty}\frac{cosx+i sin x}{x}dx=\int_0^{\infty}\frac{e^{ix}}{x}dx$

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14 Jan

诡异的Dirac函数

量子力学中有一个很诡异的函数——Dirac函数,它似乎在物理的不少领域都有很大作用,它也具有明显的物理意义,但认真地看它却又感觉它根本就不是函数!这个“似而非是”的东西究竟是什么呢?让我们从一个物理问题引入:

设想一条质量为1,长度为$2l$的均匀直线,很显然直线的密度为$\rho=\frac{1}{2l}$;将直线的中点放置于坐标轴的原点,我们就有
$$\rho(x)=\left\{ \begin{array}{c}\frac{1}{2l} (-l \leq x \leq l)\\0 (x < -l , x > l)\end{array}\right.$$

所以有
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x)dx=1$$

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