27 Feb

从Knotsevich在黑板上写的级数题目谈起

某天在浏览高教社的“i数学”编辑的微博时候,发现上面有一道Knotsevich在黑板上写的他认为很有意思的题目,原始网址是:http://weibo.com/3271276117/BBrL5foVz
Knotsevich在黑板上写的级数题目.jpg
题目是这样的
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n! (20n)!}{(4n)!(7n)!(10n)!}x^n\tag{1}$$
大概的目的是找出原函数的表达式吧。

阅读剩余部分...

14 Feb

高斯型积分的微扰展开(一)

前段时间在研究费曼的路径积分理论,看到路径积分的微扰方法,也就是通过小参数展开的方式逐步逼近传播子。这样的技巧具有非常清晰的物理意义,有兴趣了解路径积分以及量子力学的读者,请去阅读费曼的《量子力学与路径积分》。然而从数学角度看来,这种逼近的技巧实际上非常粗糙,收敛范围和速度难以得到保证。事实上,数学上发展了各种各样的摄动技巧,来应对不同情况的微扰。下面我们研究积分
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon x^4} dx\tag{1}$$
或者更一般地
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon V(x)} dx\tag{2}$$
路径积分的级数展开比它稍微复杂一些,但是仍然是类似的形式。

阅读剩余部分...

16 Jan

勒贝格(Lebesgue)控制收敛定理

实变函数中有一个勒贝格控制收敛定理,一般认为它是判断积分和取极限可交换的很好用的方法。勒贝格控制收敛定理是说,如果定义在集合$E$上的函数列$\left\{f_n(x)\right\}$满足$|f_n(x)|\leq F(x)$,而$F(x)$在$E$上可积,那么积分和取极限就可以交换,即
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_E f_n (x)dx\right)=\int_E \left(\lim_{n\to\infty}f_n (x)\right)dx$$
本文不打算谈该定理的证明,只是谈谈该定理的应用相关的话题。首先,请有兴趣的读者,做做以下题目:
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_0^1 \frac{n^2 x}{1+n^4 x^4}dx\right)$$

阅读剩余部分...

23 Dec

鬼斧神工:求n维球的体积

今天早上同学问了我有关伽马函数和$n$维空间的球体积之间的关系,我记得我以前想要研究,但是并没有落实。既然她提问了,那么就完成这未完成的计划吧。

标准思路

简单来说,$n$维球体积就是如下$n$重积分
$$V_n(r)=\int_{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\leq r^2}dx_1 dx_2\dots dx_n$$
用更加几何的思路,我们通过一组平行面($n-1$维的平行面)分割,使得$n$维球分解为一系列近似小柱体,因此,可以得到递推公式
$$V_n (r)=\int_{-r}^r V_{n-1} \left(\sqrt{r^2-t^2}\right)dt$$
设$t=r\sin\theta_1$,就有
$$V_n (r)=r\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} V_{n-1} \left(r\cos\theta_1\right)\cos\theta_1 d\theta_1$$

阅读剩余部分...

18 Jun

线性微分方程组:已知特解求通解

含有$n$个一阶常微分方程的一阶常微分方程组
$$\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$$
其中$\boldsymbol{x}=(x_1(t),\dots,x_n(t))^{T}$为待求函数,而$\boldsymbol{A}=(a_{ij}(t))_{n\times n}$为已知的函数矩阵。现在已知该方程组的$n-1$个线性无关的特解$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_{n-1}$(解的列向量),求方程的通解。

这是我的一位同学在6月5号问我的一道题目,我当时看了一下,感觉可以通过李对称的方法很容易把解构造出来,当晚就简单分析了一下,发现根据李对称的思想,由上面已知的信息确实足以把通解构造出来。但是我尝试了好几天,尝试了几何、代数等思想,都没有很好地构造出相应的正则变量出来,从而也没有写出它的显式解,于是就搁置下来了。今天再分析这道题目时,竟在无意之间构造出了让我比较满意的解来~

阅读剩余部分...

25 Apr

傅里叶变换:只需要异想天开?

在对数学或物理进行事后分析,往往会发现一些奇怪的现象,也有可能得到一些更为深刻有趣的结果。比如本文所要谈及的傅里叶变换,可以由一种“异想天开”的思路得来。

洛朗展式
我们知道,在原点处形态良好的函数,可以展开为泰勒级数
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$$
我们发现,上面的幂都是正的,为什么不能包含$x$的负数次幂呢?比如$\frac{\sin z}{z^2}$展开为
$$\frac{1}{z}-\frac{z}{6}+\frac{z^3}{120}\dots$$
显然也是一件合理的事情。于是,结合复变函数,我们得到解析函数的洛朗展式
$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n z^n$$
这是函数的双边展开。其中

阅读剩余部分...

25 Feb

翻到新的维度,把积分解决!

一般来说,如果原函数容易找到的话,牛顿-莱布尼兹公式是定积分的通用方法。但是牛顿-莱布尼兹公式只适合连续函数的积分,如果积分区间含有奇点,那就不成立了。比如,我们考虑积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx$$
当然,从严格的数学上来说,这种写法是不成立的,因为被积函数在原点没有意义。当然,从物理的角度来考虑,由于对称性,我们确信
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx=2\int_{0}^1 \frac{1}{x^2}dx=\lim_{\varepsilon\to 0}2\int_{\varepsilon}^1 \frac{1}{x^2}dx$$
从而得出积分发散的结论。这种处理某种程度上是可以接受的,但是却不是让人满意的,因为它导致了分段。有什么办法可以直接处理这种情况呢?确实有的,同样引入参数,并且最终让参数为0,考虑带参数的积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2+\varepsilon^2}dx$$
只要参数为正,这个被积函数就在$\mathbb{R}$上处处连续了,也就是奇点消失了,这样子就可以用牛顿-莱布尼兹公式了
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2+\varepsilon^2}dx=\left.\frac{1}{\varepsilon}\arctan\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\right|_{-1}^{1}$$
考虑$\varepsilon\to 0$的情况,就自动得到了积分发散的结论。

阅读剩余部分...

5 Dec

三角函数幂的定积分

最近的我的主要学习是在研究路径积分,在推导路径积分的一种新的变换方法(或者是一个新的视角吧),但是有道坎还是迈不过去,因此blog中也一直更新寥寥。说到积分与微分,这两个本是互逆的东西,但是在复数的统一之下,它们两个去可以相互转化。比如说,薛定谔方程是量子力学的微分形式,而路径积分实际上可以说是量子力学的积分形式,这让我有些想法,是不是任何微分形式的数学都存在一个积分形式的版本呢?如果是,是微分版本优还是积分版本优?

在数学分析中,我们会感觉到求导会比求积分容易很多,求导有现成的公式等等。但是微分有个最大的缺点,它是多分量的,比如,势函数是一个标量,但是微分(求梯度)之后就变成了三分量的矢量(即作用力),多分量事实上是不好处理了,为了处理这类问题,又引入了大量的算符。积分的特点在于它的标量性,也许计算很复杂,但是思想确实容易把握的,我更喜欢积分形式的理论(比如作用量原理、路径积分等。)

说到数学分析中常见而又著名的定积分,不得不提到以下三角函数积分了。
$$\int_0^{\pi/2} \sin^{2n} \theta d\theta$$
不难证明,它也等于
$$\int_0^{\pi/2} \cos^{2n} \theta d\theta$$

阅读剩余部分...