1 May

无固定点的单摆运动

我们经常听说牛顿力学、相对论力学、量子力学等物理名词,也不时会听到“理论力学”。其实,“理论力学”这个名词是不大妥当的,因为这很容易会让人误认为这是一种新的力学体系。而事实上,理论力学并不是像牛顿力学那样是一种力学体系,而是一种研究力学的方法,而研究的对象在多数情况下依然是经典力学(翻开任意一本《理论力学》教程都不难发现这一点)。简单来讲,它把牛顿时代用微积分来研究力学的方法转变为了“变分”,变“常微分”为“偏微分”。看上去这有点“化简为繁”,但事实上这样的一个转变却带来了力学研究的一个巨大的飞跃。

说到这里,也许有的读者会感到害怕了:这里边肯定又涉及了各种高深莫测的高等数学方法,我们只能望而却步。的确,理论力学中的方法很是深奥,纵使是一个优秀的大学数理本科生,也可能要花上一年多时间才能学完一本《理论力学》。可是,通过最小作用量原理的方法去研究物理又显得如此地诱人。难道像我们这些初级人士就无法亲身体验理论力学方法给我们带来的巨大便利和不一样的体验了吗?

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4 Apr

变分与理论力学略览

拉格朗日.jpgBoJone在之前的《自然极值》系列已经花了一定篇幅来讲述“极值”在自然界中是多么的普遍,它能够引导我们进行某些问题的思考,从而获得简单快捷的解答。接下来,我要说的一个更加令人惊讶的“事实”:“极值”不仅仅在某些数学或物理问题上给予我们创造性的思考,它甚至构建了整个经典力学乃至于整个物理学!这不是夸大其辞,这是物理学中被称为“最小作用量原理”的一个原理,很多物理学家(如费恩曼)被它深深吸引着,甚至认为它就是“上帝创造世界的终极公式”!(关于做小作用量原理,大家不妨看一下范翔所写的《最小作用量原理与物理之美》系列文章)

话说在18世纪,欧拉拉格朗日开创了一条独特的道路,即用变分法来研究经典力学,从而使经典力学焕发出了新的活力,也由此衍生出了一个叫“理论力学”或“分析力学”的分支。用变分法研究力学有很多的好处,变分的对象一般都是标量函数,我们只需要写出动力系统的动能与势能表达式,就可以进行一系列的研究,比如列出质点的运动方程、判断平衡点的稳定性、求周期轨道等等(由于BoJone对理论力学研究还不够深入,无法举太多例子,但请相信,其作用远远不止这些),省去了不少繁琐的矢量性分析,这些都是在变分法发明前难以研究的。

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