17 May

正项级数敛散性最有力的判别法?

在学习正项级数的时候,我们的数学分析教材提供了各种判别法,比如积分判别法、比较判别法,并由此衍生出了根植法、比值法等,在最后提供了一个比较精细的“Raabe判别法”。这些方法的精度(强度)各不相同,一般认为“Raabe判别法”的应用范围最广的。但是在我看来,基于p级数的比较判别法已经可以用于所有题目了,它才是最强的方法。

p级数就是我们熟悉的
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

通过积分判别法可以得到当p>1时该级数收敛,反之发散。虽然我不能证明,但是我觉得以下结论是成立的:

若正项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛,则总可以找到一个常数A以及一个大于1的常数p,使每项都有$a_n < \frac{A}{n^p}$。

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6 Nov

王骁威:勇敢的追梦者

破解数学猜想

王骁威.jpg今天在看《广州日报》时,偶然发现了一个不曾听闻的名字——王骁威。

他,跟我一样是一个90后,是韶关学院的大四学生,而现在,他多了一点名头:“仅用1表示数问题中的素数猜想”这一难题的破解者。

“仅用1表示数问题中的素数猜想”出现在加拿大数学家Richard K·Guy的著作《数论中未解决的问题》中,是上世纪50年代,加拿大数学家Richard K·Guy提出一个数论猜想:对于给定的素数p,$f(p)=f(p-1)+1$是否能成立。其中,“仅用1表示数”指的是只用1通过加法和乘法以及括号来表示自然数,对于给定的自然数n,用1来表示时,1的最少个数记为$f(n)$。据说在之前就有诸多数学家论证过,在3亿之前的素数里,上述猜想是成立的。

但是王骁威通过举出反例证否了这个命题,他指出p=353942783时这个公式并不成立。他是经过四个月的钻研,王骁威运用集合论的运算、分析、优化,才成功发现这个猜想的反例的。发现反例之后,王骁威陷入兴奋,把整理成的报告寄给国内几家杂志社,结果却令他失望,几家杂志社对他的论文均不感兴趣。“我也怀疑过自己的努力是否值得,但对数学的强烈兴趣让我坚持下来。”王骁威说自己将论文译成英文,英文名为《A counterexample to the prime conjecture of expressing numbers using just ones》(中文名为《仅用1表示数中素数猜想的一个反例》),投往全球最权威的数论杂志———美国艾斯维尔出版社的《Journal of Number Theory》(数论杂志),国外专家的青睐终于让他收获成功的喜悦,论文发表在杂志第133期(明年二月)上。数学大师丘成桐也通过邮件与王骁威交流,并对他表示肯定。

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21 Aug

有理直角三角形的面积能否为整数?

这是一个古老而有趣的问题,但在引入这个问题之前,我们首先来看一个简单的问题:

整数边直角三角形的面积能否为一个完全平方数?



答案是不能。我们可以举一些例子来检验一下,例如边长为3,4,5的直角三角形面积为6,6不是一个平方数;再如边长为5,12,13的直角三角形面积为30,30也不是一个平方数...当然,数学的最近目的是要求严格证明,而不是简单举例,否则就只得称为不完全归纳,这样得出来的是一个猜想,而不是“定理”,就好象著名的“哥德巴赫猜想”...本文我们将试图证明这个命题。

我们稍后还会发现,这个问题和以下问题是等价的:
是否存在一个面积为1的三边长都是有理数的直角三角形?

更让人意外的是,这个问题也等价于方程$x^4+y^4=z^4$并没有整数解,换句话说,我们要证明n=4时的“费马大定理”

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30 Jul

数学歌曲:《歌德巴赫猜》

本来科学为主题的歌曲就不多(中文的就更加少了),数学主题的更加少之又少。难得后弦制作了这一首以“歌德巴赫猜想”为主题的歌曲,尽管主要目的不是唱出数学之美,但还是值得听一下!

试听地址:
http://www.ailrc.com/html/137/WCZZSPH.htm

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