7 Mar

高斯型积分的微扰展开(二)

为什么第二篇姗姗来迟?

其实要写这系列之前,我已经构思好了接下来几篇的内容,本来想要自信地介绍自己想到的一些积分展开的技巧;而且摄动法我本身就比较熟悉,所以正常来说不会这么迟才有第二篇。然而,在我写完第一篇,准备写第二篇的期间,我看到了知乎上的这篇回复:
http://www.zhihu.com/question/24735673
这篇文章大大地拓展了我对级数的认识。里边谈及到了积分的展开是一个渐近级数。这让我犹豫了,怀疑这系列有没有价值,因为渐近级数意味着不管怎样的展开技巧,得到的级数收敛半径都是0。

后来再想想,就算是渐近级数,也有改进的空间,有加速收敛的方法,所以我想我这几篇文章,应该还有一点点意义吧,还可以顺便介绍一下渐近级数和奇点的相关理论。嗯,就这么办吧。

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14 Feb

高斯型积分的微扰展开(一)

前段时间在研究费曼的路径积分理论,看到路径积分的微扰方法,也就是通过小参数展开的方式逐步逼近传播子。这样的技巧具有非常清晰的物理意义,有兴趣了解路径积分以及量子力学的读者,请去阅读费曼的《量子力学与路径积分》。然而从数学角度看来,这种逼近的技巧实际上非常粗糙,收敛范围和速度难以得到保证。事实上,数学上发展了各种各样的摄动技巧,来应对不同情况的微扰。下面我们研究积分
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon x^4} dx\tag{1}$$
或者更一般地
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon V(x)} dx\tag{2}$$
路径积分的级数展开比它稍微复杂一些,但是仍然是类似的形式。

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