18 Mar

倒立单摆之分离频率

Mathieu方程

在文章《有质动力:倒立单摆的稳定性》中,我们分析了通过高频低幅振荡来使得倒立单摆稳定的可能性,并且得出了运动方程
$$l\ddot{\theta}+[h_0 \omega^2 \cos(\omega t)-g]\sin\theta=0$$

由此对单摆频率的下限提出了要求$\omega \gg \sqrt{\frac{g}{h_0}}$。然而,那个下限只不过是必要的,却不是充分的。如果要完整地分析该单摆的运动方程,最理想的方法当然是写出上述常微分方程的解析解。不过很遗憾,我们并没有办法做到这一点。我们只能够采取各种近似方法来求解。近似方法一般指数值计算方法,然后笔者偏爱的是解析方法,也就是说,即使是近似解,也希望能够求出近似的解析解。

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29 Dec

有质动力:倒立单摆的稳定性

前几天在“宇宙的心弦”浏览网页时,发现他更新了一篇很有趣的文章,叫《倒立单摆的稳定性与Ponderomotive Force》(果然,物理系的能接触到各种各样有趣的现象),里边谈到通过施加一个运动在单摆上面,倒立的单摆也可以是稳定的。这勾起了我的兴趣,遂也计算了一番。

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