18 Mar

倒立单摆之分离频率

Mathieu方程

在文章《有质动力:倒立单摆的稳定性》中,我们分析了通过高频低幅振荡来使得倒立单摆稳定的可能性,并且得出了运动方程
$$l\ddot{\theta}+[h_0 \omega^2 \cos(\omega t)-g]\sin\theta=0$$

由此对单摆频率的下限提出了要求$\omega \gg \sqrt{\frac{g}{h_0}}$。然而,那个下限只不过是必要的,却不是充分的。如果要完整地分析该单摆的运动方程,最理想的方法当然是写出上述常微分方程的解析解。不过很遗憾,我们并没有办法做到这一点。我们只能够采取各种近似方法来求解。近似方法一般指数值计算方法,然后笔者偏爱的是解析方法,也就是说,即使是近似解,也希望能够求出近似的解析解。

阅读剩余部分...

29 Dec

有质动力:倒立单摆的稳定性

前几天在“宇宙的心弦”浏览网页时,发现他更新了一篇很有趣的文章,叫《倒立单摆的稳定性与Ponderomotive Force》(果然,物理系的能接触到各种各样有趣的现象),里边谈到通过施加一个运动在单摆上面,倒立的单摆也可以是稳定的。这勾起了我的兴趣,遂也计算了一番。

阅读剩余部分...

9 Jun

捉弄计划的失败——单摆周期

老式机械摆钟.jpg“滴答滴答,滴答滴答——”当我们看到家里的摆钟来回摆动,并且能够准确地报时的时候,有没有想过其中的奥妙呢?

有一天,你想捉弄一下妈妈,把钟摆系上一个重物,心想着钟一定会走得更快,妈妈就会乱套了。可是很快你会失望地发现,摆钟依然准时地走着,没有任何异常,时间仿佛在宣告他的不可控制。你感到非常纳闷:为什么我的计划会失败呢?

据说,世界上第一个研究单摆的人是伽利略,他通过多次实验得出结论:单摆的周期只取决于摆绳的长度,和摆的重量无关。这是你明白了,原来要捉弄妈妈,应该要增加钟摆长度才对...^_^

现在我们来分析一下这个单摆....

阅读剩余部分...