9 Jun

路径积分系列:5.例子和综述

路径积分方法为解决某些随机问题带来了新视角.

一个例子:股票价格模型

考虑有风险资产(如股票),在$t$时刻其价格为$S_t$,考虑的时间区间为$[0,T]$,0表示初始时间,$T$表示为到期日. $S_t$看作是随时间变化的连续时间变量,并服从下列随机微分方程:
$$dS_t^0=rS_t^0 dt;\quad dS_t=S_t(\mu dt+\sigma dW_t).\tag{70}$$
其中,$\mu$和$\sigma$是两个常量,$W_t$是一个标准布朗运动.

关于$S_t$的方程是一个随机微分方程,一般解决思路是通过随机微积分. 随机微积分有别于一般的微积分的地方在于,随机微积分在做一阶展开的时候,不能忽略$dS_t^2$项,因为$dW_t^2=dt$. 比如,设$S_t=e^{x_t}$,则$x_t=\ln S_t$
$$\begin{aligned}dx_t=&\ln(S_t+dS_t)-\ln S_t=\frac{dS_t}{S_t}-\frac{dS_t^2}{2S_t^2}\\
=&\frac{S_t(\mu dt+\sigma dW_t)}{S_t}-\frac{[S_t(\mu dt+\sigma dW_t)]^2}{2S_t^2}\\
=&\mu dt+\sigma dW_t-\frac{1}{2}\sigma^2 dW_t^2\quad(\text{其余项均低于}dt\text{阶})\\
=&\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right) dt+\sigma dW_t\end{aligned}
,\tag{71}$$

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26 Jun

费曼积分法——积分符号内取微分(4)

趁着早上有空,就赶紧把这篇文章写好吧。下午高考成绩要公布了,公布后也许又会有一段时间忙碌了。这应该是“费曼积分法”系列最后一篇文章了。它主要讲的还是费曼积分法的一个实例。不同的是,这是BoJone首次独立地用费曼积分法解决了一个问题。之前提到的一些例子,都是书本提供并结合了提示,BoJone才把它们算出来的。所以这个问题有着点点纪念意义。

数学研发论坛上wayne曾求证这样的命题:

$\int_0^{\infty}\frac{f(x,2m-1)-sinx}{x^{2m+1}}dx$其中,f(x,2m-1)表示sinx的2m-1阶泰勒展开
如m=1时,
$\int_0^{\infty}\frac{x-sinx}{x^3}dx$
m=2时
$\int_0^{\infty}\frac{x-\frac{x^3}{6}-sinx}{x^5}dx$
借助软件我发现结果是:
$\frac{\pi(-1)^{m-1}}{2(2m)!}$

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23 Jun

费曼积分法——积分符号内取微分(3)

由于自行车之旅的原因,这篇文章被搁置了一个星期,其实应该在一个星期前就把它写好的。这篇文章继续讲讲费曼积分法的一些例子。读者或许可以从这些不同类型的例子中,发现它应用的基本方向和方法,从而提升对它的认识。

例子2:

$\int_0^{\infty} \frac{sin x}{x}dx$

这也是一种比较常见的类型,它的形式为$\int \frac{f(x)}{x}dx$,对于这种形式,我们的第一感觉就是将其改写成参数形式$\int \frac{f(ax)}{x}dx$,这样的目的很简单,就是把分母给消去了,与$\int \frac{x}{f(x)}dx$的求积思想是一致的。但是深入一点研究就会发现,纵使这样能够消去分母,使得第一次积分变得简单,但是到了第二次积分的时候,我们发现,它又会变回$\int \frac{f(x)}{x}dx$的积分,使我们不能继续进行下去,因此这个取参数的方法大多数情况下都是不行的。

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12 Jun

费曼积分法——积分符号内取微分(2)

上一篇文章我对“费曼积分法”做了一个简单的介绍,并通过举例来初步展示了它的操作步骤。但是,要了解一个方法,除了知道它能够干什么之外,还必须了解它的原理和方法,这样我们才能够更好地掌握它。因此,我们需要建立“积分符号内取微分”的一般理论,为进一步的应用奠基。

一般原理

我们记
$G(a)=\int_{m(a)}^{n(a)} f(x,a)dx$

在这里,f(x,a)是带有参数a的关于x的函数,而积分区间是关于参数a的两个函数,这样的积分也叫变限积分,可以理解为是普通定积分的推广。我们记F(x,a)为f(x,a)的原函数,也就是说$\frac{\partial F(x,a)}{\partial x}=f(x,a)$,那么按照微积分基本定理,我们就有:
$G(a)=F(n(a),a)-F(m(a),a)$

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10 Jun

费曼积分法——积分符号内取微分(1)

帅气的天才科学家费曼.jpg似乎有好久都没有写文章感觉,高考结束了,继续研究。先总结一下考前的一些结果。

这个文章讲的是一个叫“积分符号内取微分”东西,这是一个很有趣而且有用的求定积分的方法。在这里我又擅自把它叫做“费曼积分法”,因为我是从费曼的自传《别闹了,费曼先生》中看到这种方法的。当然,费曼不是这个方法的首创者,他仅仅是是喜欢、熟练这种方法,并将它记载在了自传中。具体情况是怎样的呢?我先不多说,请读者直接看《别闹了,费曼先生》中的情节。

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