6 Nov

这个星期对微分方程的认识

这个星期研究了两道微分方程问题:“导弹跟踪”以及“太阳炉”问题。从中我加深了对微分方程的理解,也熟悉了微分方程的相关运算。仅此记录,权当抛砖引玉。

一、微分方程的本质

很多读者都知道,自从牛顿和莱布尼兹发明微积分之后,微积分就迅速地渗透到了几乎所有的学科,后来发展出许多出色的分支,如变分、微分方程等。众所周知,微分方程是解决很多重要问题的工具。不知道各位读者对微分及微分方程的认识如何?其实对于常微分方程而言,它的本质和我们已经学习过的代数方程一样,只不过相互之间的对应运算关系除了常规的加减乘除幂等之外,还多了两个相互关系:微分和积分。例如对于一阶微分方程$\dot{y}=f(x,y)$,也许大家都认为它是一个二元方程,其实不然,这是一个“四个未知数、三道方程”所组成的方程组,我们可以将它写成

$dy=f(x,y)dx,y=\int dy,x=\int dx$

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3 Oct

《向量》系列——5.平面向量微分方程与复数

首先我们考虑一个复微分方程
$\dot{z}=f(z,t)$————(1)
如果令$z=x+yi,f(z,t)=f(x+yi,t)=g(x,y,t)+i*h(x,y,t)$,则方程对应于
$\dot{x}=g(x,y,t)$
$\dot{y}=h(x,y,t)$
这说明,二元微分方程在一定程度上等价于复微分方程。

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30 Jul

旋转的弹簧将如何伸长?

旋转的弹簧.PNG

一根均匀的弹簧长度l

0

,线密度λ

0

,劲度系数k,总质量M。现在没有重力的环境下,绕其一端作角速度ω的旋转(角速度恒定),则此时其长度变为多少?

这是网友“宇宙为家”在几天前提出的问题。期间我曾做过多次解答,犯了若干次错误,经过修修补补,得出了最后的答案,在此感谢“宇宙为家”朋友的多次提醒。如果下面的答案依旧有错误,望各位读者发现并指出。

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4 Apr

关于自由落体公式的简单修正

自由落体公式-示意图.PNG自由落体的一般定义是:只考虑吸引天体和被吸引天体的引力因素,忽略其他的运动和大气摩擦等因素,物体从静止(相对于吸引天体)开始接近吸引天体的运动。根据这个定义,假设地球为一个均匀球体,半径为r,质量为M,物体从距离地表h高度处自由落下。求落到地面的时间t,或者根据时间t求h。

令s为t时刻物体左右下落的物体与地表的距离,忽略物体的小质量,那么可以列出微分方程:
$\frac{d^2 s}{dt^2}=-\frac{GM}{(r+s)^2}$——(1)
并且初始条件是$t=0,s=h,\dot{s}=v=0$

在实际应用中,我们不必求出这道微分方程的精确解,因为这个解极其麻烦,在之前曾经讨论过。我们只需要求出一个有足够精确度的近似解就行。

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20 Mar

《方程与宇宙》:二体问题的来来去去(一)

二体问题的轨道模拟

为了让大家能够查询到“天体力学”方面的内容,同时锻炼我的表达和计算能力,BoJone构思了《方程与宇宙》这个主题,主要是写一些关于使用数学相对深入地讨论一些天文问题。其实我一直觉得,不用公式是无法完美地描述科学的(当然也不能纯公式),我记得霍金的《时间简史》以及《果壳中的宇宙》等之类的书,都力求不用或者尽可能少用数学公式来表达自己的观点。这种模式对于对于公众来说是很好的,但是对于希望深入研究的朋友来说却难以进行。所以我主张:宇宙是算出来的!

这个主题每一个字都是由BoJone敲击出来的,其中包括引用了《天体力学引论》里面的一些内容,以及加入了BoJone个人的一些见解。由于篇幅长及时间有限问题,BoJone打算分若干次撰写发布,并且尽可能写得通俗一点,力求让有一点微积分基础的朋友就可以弄懂。这里首先发布第一部分。由于时间匆忙等原因,可能会出现一些疏忽,欢迎大家挑错!

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9 Jan

精确自由落体运动定律的讨论(二)

跳伞过程中的自由落体阶段.jpg
之前在这篇文章中,我们使用过一个牛顿引力场中的自由落体公式:
$t=\sqrt{\frac{r_0}{2GM}}{r_0 \cdot arctg \sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}+\sqrt{r(r_0 -r)}}$——(1)

我们来尝试一下推导出这个公式来。同时,站长在逐渐深入研究的过程中,发现微分方程极其重要。以前一些我认为不可能解决的问题,都用微分方程逐渐解决了。在以后的文章里,我们将会继续体验到微分方程的伟大魔力!因此,建议各位有志研究物理学的朋友,一定要掌握微分方程,更加深入的,需要用到偏微分方程!

首先,质量为m的物理在距离地心r处的引力为$\frac{GMm}{r^2}$,根据牛顿第二定律F=ma,自然下落的物体所获得的加速度为$\frac{GM}{r^2}$。假设物体从距离地心r开始向地心自由下落,求位移s关于t的函数s=s(t).

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