本节简单介绍用矩阵来描述旋转。在二维平面上,复数无疑是描述旋转的最佳工具;然而推广到三维空间中,却要动用到“四元数”了。为了证明四元数的相关结论,我们需要三维旋转的矩阵描述。最一般的旋转运动为:绕某一根轴旋转$\theta$角度。这样我们就需要三个参数来描述它:确定一根轴至少需要两个参数,确定角度需要一个参数。因此,如果要用“数”来描述三维空间的伸缩和旋转的话,“三元数”显然是不够的,完成这一目的至少需要四元数。这也从另外一个角度反映了三元数的不存在性。

矩阵方法
首先我们认识到,如果旋转轴是坐标轴之一,那么旋转矩阵将是最简单的,比如向量$\mathbf{x}=(x_0,y_0,z_0)^{T}$绕$z$轴逆时针旋转$\theta$角后的坐标就可以描述为
$$\begin{equation}
\mathbf{R}_{\theta}\mathbf{x}\end{equation}$$

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