测地线

黎曼度量应该是不难理解的,在微分几何的教材中,我们就已经学习过曲面的“第一基本形式”了,事实上两者是同样的东西,只不过看待问题的角度不同,微分几何是把曲面看成是三维空间中的二维子集,而黎曼几何则是从二维曲面本身内蕴地研究几何问题。

几何关心什么问题呢?事实上,几何关心的是与变换无关的“客观实体”(或者说是在变换之下不变的东西),这也是几何的定义。根据Klein提出的《埃尔朗根纲领》,几何就是研究在某种变换(群)下的不变性质的学科。如果把变换局限为刚性变换(平移、旋转、反射),那么就是欧式几何;如果变换为一般的线性变换,那就是仿射几何。而黎曼几何关心的是与一切坐标都无关的客观实体。比如说,我有一个向量,方向和大小都确定了,在直角坐标系是$(1, 1)$,在极坐标系是$(\sqrt{2}, \pi/4)$,虽然两个坐标系下的分量不同,但它们都是指代同一个向量。也就是说向量本身是客观存在的实体,跟所使用的坐标无关。从代数层面看,就是只要能够通过某种坐标变换相互得到的,我们就认为它们是同一个东西。

因此,在学习黎曼几何时,往“客观实体”方向思考,总是有益的。

平面上的测地线.svg有了度规,可以很自然地引入“测地线”这一实体。狭义来看,它就是两点间的最短线——是平直空间的直线段概念的推广(实际的测地线不一定是最短的,但我们先不纠结细节,而且这不妨碍我们理解它,因为测地线至少是局部最短的)。不难想到,只要两点确定了,那么不管使用什么坐标,两点间的最短线就已经确定了,因此这显然是一个客观实体。有一个简单的类比,就是不管怎么坐标变换,一个函数$f(x)$的图像极值点总是确定的——不管你变还是不变,它就在那儿,不偏不倚。

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