11 Jan

几何的数与数的几何:超复数的浅探究

这也是我的期末论文之一...全文共17页,包括了四元数的构造方法,初等应用等。附录包括行列式与体积、三维旋转的描述等。使用LaTex进行写作(LaTex会让你爱上数学写作的)

几何的数与数的几何
――超复数的浅探究

摘要
今天,不论是数学还是物理的高维问题,都采用向量分析为基本工具,数学物理中难觅四元数的影子。然而在历史上,四元数的发展有着重要的意义。四元数(Quaternion)运算实际上是向量分析的“鼻祖”,向量点积和叉积的概念也首先出现在四元数的运算中,四元数的诞生还标记着非交换代数的开端。即使是现在,四元数还是计算机描述三维空间旋转问题最简单的工具。另外,作为复数的推广,四元数还为某些复数问题的一般化提供了思路。

本文把矩阵与几何适当地结合起来,利用矩阵行列式$\det (AB) =(\det A)(\det B)$这一性质得出了四元数以及更高维的超复数的生成规律,并讨论了它的一些性质以及它在描述旋转方面的应用。部分证明细节和不完善的思想放到了附录之中。

阅读剩余部分...

26 Dec

高维空间的叉积及其几何意义

向量之间的运算有点积和叉积(Cross Product,向量积、外积),其中点积是比较简单的,而且很容易推广到高维;但是叉积不同,一般来说它只不过是三维空间中的东西。叉积的难以推广在于它的多重含义性,如果将向量及其叉积放到张量里边来看(这属于微分形式的内容),那么三维以上的向量叉积是不存在的;但是如果只是把叉积看成是“由两个向量生成第三个与其正交的向量”的工具的话,那么叉积也是可以高维推广的,而且推广的技巧非常巧妙,与三维空间的叉积也非常相似。

回顾三维空间
为了推广三维空间的叉积,首先回顾三维空间的叉积来源是有益的。叉积起源于四元数乘法,但是从目的性来讲,我们希望构造一个向量$\mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3)$,使得它与已知的两个不共线的向量$\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3),\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)$垂直(正交)。从普适性的角度来讲,我们还希望构造出来的向量没有任何“奇点”,为此,我们只用乘法构造。至于叉积的几何意义,则是后话,毕竟,先达到基本的目的再说。

阅读剩余部分...

26 Dec

体积与阿达马不等式

阿达马不等式
设有$n$阶实矩阵$\mathbf{A}=(a_{ij})_{n\times n}$,那么它的行列式满足阿达马(Hadamard)不等式
$$\begin{equation}
\left(\det \mathbf{A}\right)^2 \leq \prod\limits_{i=1}^{n}\left(a_{1i}^2+a_{2i}^2+\dots+a_{ni}^2\right)
\end{equation}$$

这是阿达马在1893年首先发表的。根据体积就是行列式的说法,上述不等式具有相当明显的几何意义。当$n=2$时,它就是说平行四边形的面积不大于两边长的乘积;当$n=3$时,它就是说平行六面体的体积不大于三条棱长的乘积;高维可以类比。这些结论在几何中几乎都是“显然成立”的东西。因此很难理解为什么这个不等式在1893年才被发现。当然,代数不会接受如此笼统的说法,它需要严格的证明。

阅读剩余部分...

25 Dec

《新理解矩阵5》:体积=行列式

在文章《新理解矩阵3》:行列式的点滴中,笔者首次谈及到了行列式的几何意义,它代表了n维的“平行多面体”的“体积”。然而,这篇文章写于我初学矩阵之时,有些论述并不严谨,甚至有些错误。最近笔者在写期末论文的时候,研究了超复数的相关内容,而行列式的几何意义在我的超复数研究中具有重要作用,因此把行列式的几何意义重新研究了一翻,修正了部分错误,故发此文,与大家分享。

一个$n$阶矩阵$A$可以看成是$n$个$n$维列向量$\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,...,\mathbf{x}_n$的集合
$$A=(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\dots,\mathbf{x}_n)$$
从代数的角度来看,这构成了一个矩阵;从几何的角度来看,这$n$个向量可以建立一个平行$n$维体。比如:平行四边形就是“平行二维体”,平行六面体就是“平行三维体”,高阶的只需要相应类比,不需要真正想象出高维空间的立体是什么样。

阅读剩余部分...

31 Oct

《新理解矩阵2》:矩阵是什么?

上一篇文章中我从纯代数运算的角度来讲述了我对矩阵的一个理解,可以看到,我们赋予了矩阵相应的运算法则,它就在代数、分析等领域显示出了巨大作用。但是纯粹的代数是不足够的,要想更加完美,最好是找到相应的几何对象能够与之对应,只有这样,我们才能够直观地理解它,以达到得心应手的效果。

几何理解

我假设读者已经看过孟岩的《理解矩阵》三篇文章,所以更多的细节我就不重复了。我们知道,矩阵A

$[a_{11},a_{12}]$
$[a_{21},a_{22}]$

事实上由两个向量$[a_{11},a_{21}]^T$和$[a_{12},a_{22}]^T$(这里的向量都是列向量)组成,它描述了一个平面(仿射)坐标系。换句话说,这两个向量其实是这个坐标系的两个基,而运算$y=Ax$则是告诉我们,在$A$这个坐标系下的x向量,在$I$坐标系下是怎样的。这里的$I$坐标系就是我们最常用的直角坐标系,也就是说,任何向量(包括矩阵里边的向量),只要它前面没有矩阵作用于它,那么它都是在直角坐标系下度量出来的。

阅读剩余部分...

3 Jul

求多边形外角和的绝妙方法!

如图是一个三角形,要求三角形的外角和。外角和定义为“多边形每一个内角的补角之和”,比如这里的∠DAC+∠FCB+∠EBA。当然,这里一般指的是凸多边形。

三角形的外角和 (1).PNG

显然,这并不是一个什么大难题,答案是360度,方法有很多,直接用内角和公式计算、想象成旋转一周甚至你亲自去测量一下都行。但我觉得最妙的方法无疑是下面的方法。

阅读剩余部分...

12 Feb

2012北约自主招生数学

其中前六题是选择题,具体情况记不起来了,其实也是挺简单的。不过有兴趣的朋友可以在本文的PDF附件查阅到试题(来自“空念远兮”数学网站)。

对了这个PDF文件的参考答案之后,BoJone发现我的选择题全对。而后三道大题我只做了最后两道,解法也和PDF中的不大一样,在此写出来与大家讨论。

1、求证:内角相等的圆内接五边形是正五边形。

这道题是我在最后十五分钟做出来的。一开始想到很多复杂的定理方法,后来发现它可以很简单证明。

如图是一个满足题目条件的五边形。
五边形.PNG

阅读剩余部分...

17 Nov

[欧拉数学]凸多面体的面、顶、棱公式

莱昂哈德·欧拉.jpg作为数学史上最高产的数学家(似乎没有之一),欧拉的研究几乎涉及了所有数学领域,包括数论、图论、微积分等,同时他还是一个物理学家,他与拉格朗日首创的变分法使得经典力学的研究达到了一个新的高度。欧拉具有惊人的计算能力和数学直觉,这对他的数学研究帮助极大。现在在很多领域,我们都可以看到不少以欧拉命名的公式、定理。欧拉在数学上极为高产,而且得出了相当多的正确结论,但其中有相当多的结论只是来源于他的数学直觉(创造性思维)以及类比推理,这并非欧拉不追求严谨,而是由于当时数学知识的局限性,难以严密化。还有,研究的顺序是:先得出答案,然后才论证答案!

再者,创造性思维往往令人叫绝,能更加促进我们的思维能力。过多地考虑严格性和技术细节,通常都妨碍了我们得出正确的答案。正如《解题的艺术》中说道粗略而有灵感的思想可能会引出严格证明;而有时,严格的证明会完全淡化论证的精髓。因此,我们不必在意欧拉证明的不严谨,反而,它是一次完美的视觉与思维享受。正因如此,一些绝妙、非严密、(在某种程度上)不正确的但同时得出了正确结果的数学论证,就被称为“欧拉数学”。事实上,任何人、任何研究都必须经过“欧拉数学”这一不严密的早期阶段。

------------华丽的分割线----------------

下面是一条关于凸多面体的面、顶、棱公式,它属于拓扑学的内容,我们称之为“欧拉公式”。(当然,公式是欧拉的,论证过程只是笔者粗糙地给出的)。

阅读剩余部分...