14 Oct

【理解黎曼几何】2. 从勾股定理到黎曼度量

黎曼度量

几何,英文名是Geometry,原意是大地测量。既然是测量,就必须有参考物,还有得知道如何计算距离。

有了参照物,我们就可以建立坐标系,把每个点的坐标都写下来,至于计算距离,我们有伟大的勾股定理:
$$ds^2 = dx^2 + dy^2 \tag{1} $$
但这里我们忽略了两个问题。

第一个问题是,我们不一定使用直角坐标系,如果使用极坐标,那么应该是
$$ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 \tag{2} $$
因此可以联想,最一般的形式应该是
$$ds^2 = E(x^1, x^2)(dx^1)^2 + 2F(x^1, x^2)dx^1 dx^2 + G(x^1, x^2)(dx^2)^2 \tag{3} $$
这里的$x^1,x^2$是广义坐标,使用上标而不是下标来标记序号,是为了跟传统的教材记号一致。那这公式是什么意思呢?其实很简单,正如我们没理由要求全世界都使用人民币一样,我们没必要要求世界各地都使用同一个坐标系,而更合理的做法是,每一处地方都使用自己的坐标系(局部坐标系),然后给出当地计算距离的方法。因此,上述公式正是说,在位置$(x^1, x^2)$处计算向量$(dx^1, dx^2)$的长度的公式(当地的勾股定理)是$ds^2 = E(x^1, x^2)(dx^1)^2 + 2F(x_1, x_2)dx^1 dx^2 + G(x^1, x^2)(dx^2)^2$。

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14 Oct

【理解黎曼几何】1. 一条几何之路

一个月没更新了,这个月花了不少时间在黎曼几何的理解方面,有一些体会,与大家分享。记得当初孟岩写的《理解矩阵》,和笔者所写的《新理解矩阵》,读者反响都挺不错的,这次沿用了这个名称,称之为《理解黎曼几何》。

生活在二维空间的蚂蚁.jpg

黎曼几何是研究内蕴几何的几何分支。通俗来讲,就是我们可能生活在弯曲的空间中,比如一只生活在二维球面的蚂蚁,作为生活在弯曲空间中的个体,我们并没有足够多的智慧去把我们的弯曲嵌入到更高维的空间中去研究,就好比蚂蚁只懂得在球面上爬,不能从“三维空间的曲面”这一观点来认识球面,因为球面就是它们的世界。因此,我们就有了内蕴几何,它告诉我们,即便是身处弯曲空间中,我们依旧能够测量长度、面积、体积等,我们依旧能够算微分、积分,甚至我们能够发现我们的空间是弯曲的!也就是说,身处球面的蚂蚁,只要有足够的智慧,它们就能发现曲面是弯曲的——跟哥伦布环球航行那样——它们朝着一个方向走,最终却回到了起点,这就可以断定它们自身所处的空间必然是弯曲的——这个发现不需要用到三维空间的知识。

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17 Mar

你所没有思考过的平行线问题

欧几里得.jpg本文的主题是平行线,了解数学的朋友可能会想我会写有关非欧几何的内容。但这次不是,本文的内容纯粹是我们从小就开始学习的欧氏几何,基于“欧几里得第五公设”(又称平行公设)。但即便是从小就学习的欧氏几何中的平行线,也许里边的很多问题我们都没有思考清楚。因为平行是几何中非常基本的情形,因此,在讨论这种基本命题的时候,相当容易会出现循环论证、甚至本末倒置的情况。

我们从初中开始就被灌输“同位角相等,两直线平行”、“内错角相等,两直线平行”之类的平行线判断法则,当然,还少不了的是“过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”。但是,这些内容之中,有多少是基本的公理,有多少是可以证明的,该如何证明,我想很多人都理解不清楚,我自己也没有一个很好的答案。那些在初中教授平行线的老师们,估计也没多少个能够把它说清楚的。后来我发现,我居然不会证明“同位角相等,两直线平行”,“欧几里得第五公设”好像并没有告诉我们这个判定法则呀。于是,我翻看了一下初中的数学教科书,发现原来当初“同位角相等,两直线平行”这一判定法则是不加证明地让我们接受的,无怪乎我怎么也想不到关于这一法则的简单的证明...

于是,我想写这篇文章,为大家理解平行线的整个逻辑提供一点参考。

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25 Oct

从费马大定理谈起(十二):再谈谈切线法

首先谈点题外话,关于本系列以及本博客的写作。其实本博客的写作内容,代表了笔者在这段时间附近的研究成果。也就是说,我此时在写这篇文章,其实表明我这段时间正在研究这个问题。而接下来的研究是否有结果,有怎样的结果,则是完全不知道的。所以,我在写这篇文章的时候,并不确定下一篇文章会写些什么。有些类似的话题,我会放在同一个系列去写。但不管怎样,这些文章可能并不遵循常规的教学或者学习思路,有些内容还可能与主流的思想方法有相当出入,请读者见谅,望大家继续支持!

上一篇我们谈到了切线法来求二次和三次曲线的有理点。切线法在寻找不高于三次的曲线上的有理点是很成功的,可是对于更高次的曲线有没有类似的方法呢?换句话说,有没有推广的可能性。我们从纯代数的角度来回复一下切线法生效的原因。切线法,更一般的是割线法,能够起作用,主要是因为如果有理系数的三次方程有两个有理数的根,那么第三个根肯定是有理数。如果只有一个已知的有理根,那么就可以让两个根重合为已知的那个根,从而割线变成了切线。

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24 Oct

从费马大定理谈起(十一):有理点与切割线法

圆上的有理点.png我们在这个系列的文章之中,探索了一些有关环和域的基本知识,并用整环以及唯一分解性定理证明了费马大定理在n=3和n=4时的情形。使用高斯整数环或者艾森斯坦整数环的相关知识,相对而言是属于近代的比较“高端”的代数内容(高斯生于1777年,艾森斯坦生于1823年,然而艾森斯坦英年早逝,只活到了1852年,高斯还活到了1855年。)。如果“顺利”的话,我们可以用这些“高端”的工具证明解的不存在性,或者求出通解(如果有解的话)。

然而,对于初等数论来讲,复数环和域的知识的门槛还是有点高了。其次,环和域是一个比较“强”的工具。这里的“强”有点“强势”的意味,是指这样的意思:如果它成功的话,它能够“一举破城”,把通解都求出来(或者证明解的不存在);如果它不成功的话,那么往往就连一点非平凡的解都求不出来。可是,有些问题是求出一部分解都已经很困难了,更不用说求出通解了(我们以后在研究$x^4+y^4 = z^4 + w^4 $的整数解的时候,就能深刻体会这点。)。因此,对于这些问题,单纯用环域的思想,很难给予我们(至少一部分)解。(当然,问题是如何才算是“单纯”,这也很难界定。这里的评论是比较粗糙的。)

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12 Feb

漫谈几何量子化

在查找量子化有关资料的时候,笔者查找到了一系列名为《漫谈几何量子化》的文章,并进一步查询得知,作者为季候风,原来发表在繁星客栈(顺便提一下,繁星客栈是最早的理论物理论坛之一,现在已经不能发帖了,但是上面很多资料都弥足珍贵),据说这是除正则量子化和路径积分量子化外的第三种量子化方法。网上鲜有几何量子化的资料,更不用说是中文资料了,于是季候风前辈的这一十五篇文章便显得格外有意义了。

然而,虽然不少网站都转载了这系列文章,但是无一例外地,文章中的公式图片已经失效了,后来笔者在百度网盘那找到其中的十四篇pdf格式的(估计是网友在公式图片失效前保存下来的),笔者通过替换公式服务器的方式找回了第十五篇,把第十五篇也补充进去了。(见漫谈几何量子化(原文档).zip

虽然这样已经面前能够阅读了,但是总感觉美中不足,虽然笔者花了三天时间把文章重新用$\LaTeX$录入了,主要是把公式重新录入了,简单地排版了一下。现放出来与大家分享。

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30 Jan

三个相切圆的公切圆:补充

文章《三个相切圆的公切圆》中,笔者讲到利用反演作三个相切圆的公切圆,那时要求三个圆要两两相切。后来思考了一下,发现不用这个条件,只要三个之中的一个圆与另外两个圆都相切即可。

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27 Jan

三个相切圆的公切圆

在学车的时候,我堂大哥曾问我一道作圆的问题:

三圆的外切圆和内切圆 (1).png
平面上给出三个两两相切的圆以及它们的圆心,求作一个圆与这三个圆都相切(尺规作图)。

如果从纯几何的途径入手,我们甚至很难判断这样的圆是否存在。但是我之前似乎已经看过类似的题目,于是很快想到一个名词:反演。反演可以将圆反演成直线(圆过反演点),也可以将圆反演成圆(圆不过反演点),而其他的相切、相交等关系保持不变。对反演后的图形进行相同的反演,就变回原来的图形。本题的难点在于圆太多,利用反演,我们可以将它变为两条直线和一个圆的问题。

假设读者已经有了反演的基本知识,如果没有,请到
http://zh.wikipedia.org/wiki/反演
阅读相关内容。

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