15 Feb

积分估计的极值原理——变分原理的初级版本

如果一直关注科学空间的朋友会发现,笔者一直对极值原理有偏爱。比如,之前曾经写过一系列《自然极值》的文章,介绍一些极值问题和变分法;在物理学中,笔者偏爱最小作用量原理的形式;在数据挖掘中,笔者也因此对基于最大熵原理的最大熵模型有浓厚的兴趣;最近,在做《量子力学与路径积分》的习题中,笔者也对第十一章所说的变分原理产生了很大的兴趣。

对于一样新东西,笔者的学习方法是以一个尽可能简单的例子搞清楚它的原理和思想,然后再逐步复杂化,这样子我就不至于迷失了。对于变分原理,它是估算路径积分的一个很强大的方法,路径积分是泛函积分,或者说,无穷维积分,那么很自然想到,对于有限维的积分估计,比如最简单的一维积分,有没有类似的估算原理呢?事实上是有的,它并不复杂,弄懂它有助于了解变分原理的核心思想。很遗憾,我并没有找到已有的资料描述这个简化版的原理,可能跟我找的资料比较少有关。

从高斯型积分出发

变分原理本质上是Jensen不等式的应用。我们从下述积分出发
$$\begin{equation}\label{jifen}I(\epsilon)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-\epsilon x^4}dx\end{equation}$$

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28 Mar

有趣的求极限题:随心所欲的放缩

昨天一好友问我以下题目,求证:
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1^n + 2^n +\dots + n^n}{n^n}=\frac{e}{e-1}$$
将解答过程简单记录一下。

求解

首先可以注意到,当$n$充分大时,
$$\frac{1^n + 2^n +\dots + n^n}{n^n}=\left(\frac{1}{n}\right)^n+\left(\frac{2}{n}\right)^n+\dots+\left(\frac{n}{n}\right)^n$$
的主要项都集中在最后面那几项,因此,可以把它倒过来计算
$$\begin{aligned}\frac{1^n + 2^n +\dots + n^n}{n^n}=&\left(\frac{1}{n}\right)^n+\left(\frac{2}{n}\right)^n+\dots+\left(\frac{n}{n}\right)^n\\
=&\left(\frac{n}{n}\right)^n+\dots+\left(\frac{2}{n}\right)^n+\left(\frac{1}{n}\right)^n\end{aligned}$$

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16 Jan

勒贝格(Lebesgue)控制收敛定理

实变函数中有一个勒贝格控制收敛定理,一般认为它是判断积分和取极限可交换的很好用的方法。勒贝格控制收敛定理是说,如果定义在集合$E$上的函数列$\left\{f_n(x)\right\}$满足$|f_n(x)|\leq F(x)$,而$F(x)$在$E$上可积,那么积分和取极限就可以交换,即
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_E f_n (x)dx\right)=\int_E \left(\lim_{n\to\infty}f_n (x)\right)dx$$
本文不打算谈该定理的证明,只是谈谈该定理的应用相关的话题。首先,请有兴趣的读者,做做以下题目:
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_0^1 \frac{n^2 x}{1+n^4 x^4}dx\right)$$

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6 Jul

齐次多项式不等式的机器证明(差分代换)

在高中阶段,笔者也像很多学生一样参加过数学竞赛,而在准备数学竞赛的过程中,也做过一些竞赛题,其中当然少不了不等式题目。当时,面对各种各样的不等式证明题,我总是非常茫然,因为看到答案之后,总感觉证明的构造非常神奇,但是每当我自己独立去做时,却总想不出来。于是后来就萌生了“有没有办法可以通用地证明这些不等式?”的想法。为了实现这个目的,当时就想出了本文的技巧——通过牺牲计算的简便性来换取证明的有效性。后来,我虽然没有走上数学竞赛这条路,但这个方法还是保留了下来,近日,在和数学研发论坛的朋友们讨论不等式问题时,重新拾起了这个技巧。

此前,在本博客的文章《对称多项式不等式的“物理证明”》中,已经谈到了这个技巧,只是限制于当时的知识储备,了解并不深入。而在本文中,则进行拓展了。这个技巧在当时是我自己在证明中独立发现的,而现在在网上查找时发现,前辈们(杨路、姚勇、杨学枝等)早已研究过这个技巧,称之为“差分代换”,并且已经探究过它在机器证明中的作用。该技巧可以很一般化地用于齐次/非其次不等式的证明,限于篇幅,本文只谈齐次多项式不等式,特别地,是对称齐次多项式不等式,并且发现某些可以简化之处。

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5 Jan

不确定性原理的矩阵形式

作为量子理论的一个重要定理,不确定性原理总是伴随着物理意义出现的,但是从数学的角度来讲,把不确定性原理的数学形式抽象出来,有助于我们发现更多领域的“不确定性原理”。

本文中,我们将谈及不确定性原理的n维矩阵形式。首先需要解释给大家的是,不确定性原理其实是关于“两个厄密算符与一个单位向量之间的一条不等式”。在量子力学中,厄密算符对应着无穷维的厄密矩阵;而所谓厄密矩阵,就是一个矩阵同时取共轭和转置之后,等于它自身。但是本文讨论一个更简单的情况,那就是n维实矩阵,n维实矩阵中的厄密矩阵就是我们所说的实对称矩阵了。

设$\mathbf{x}$是一个n维单位向量,即$|\mathbf{x}|=1$,而$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$是n阶实对称矩阵。在量子力学中,$\mathbf{x}$就是波函数,但是在这里,它只不过是一个单位实向量;并记$\mathbf{I}$是n阶单位阵。

考虑
$$\bar{A}=\mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x},\bar{B}=\mathbf{x}^{T}\mathbf{B}\mathbf{x}$$
从这些记号可以看出,这些量对应着可观测量的期望值。当然,如果不懂量子力学,可以只看上面的矩阵形式。

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26 Dec

体积与阿达马不等式

阿达马不等式
设有$n$阶实矩阵$\mathbf{A}=(a_{ij})_{n\times n}$,那么它的行列式满足阿达马(Hadamard)不等式
$$\begin{equation}
\left(\det \mathbf{A}\right)^2 \leq \prod\limits_{i=1}^{n}\left(a_{1i}^2+a_{2i}^2+\dots+a_{ni}^2\right)
\end{equation}$$

这是阿达马在1893年首先发表的。根据体积就是行列式的说法,上述不等式具有相当明显的几何意义。当$n=2$时,它就是说平行四边形的面积不大于两边长的乘积;当$n=3$时,它就是说平行六面体的体积不大于三条棱长的乘积;高维可以类比。这些结论在几何中几乎都是“显然成立”的东西。因此很难理解为什么这个不等式在1893年才被发现。当然,代数不会接受如此笼统的说法,它需要严格的证明。

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26 Sep

均值不等式的两个巧妙证明

记得几年前,BoJone提供过一个证明均值不等式(代数—几何平均不等式)的方法,但是其中的证明有点长,有点让人眼花缭乱的感觉(虽然里边的思想还是挺简单的)。昨天在上《数学分析》课程的时候,老师讲到了这个不等式,也讲了他的证明,用的是数学归纳法,感觉还是没有那种简洁美和巧妙美。但这让我回想起了之前我研究过的两种巧妙证明方法,可是在昨天划了一整天,都没有把这两种方法回忆起来。直到今天才回想起来,所以就放在这里与大家分享,同时也作备忘之用。

对于若干个非负数$x_i$,我们有
$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 ... x_n}$

记为$A_n \geq G_n$

证明1:数学归纳法
这个方法不算简单,但是非常巧妙,它从n递推到n+1的过程让人拍案叫绝。用数学归纳法证明詹森不等式也是同样的递推思路,而均值不等式不过是詹森不等式的一个特例而已。

假设$A_n \geq G_n$成立,要证$A_{n+1} \geq G_{n+1}$。我们有

$2n A_{n+1}=(n+1)A_{n+1}+(n-1)A_{n+1}$
$=[x_1 + x_2 +...+x_n]+[x_{n+1}+(n-1)A_{n+1}]$
$\geq nG_n+n(x_{n+1}*A_{n+1}^{n-1})^{\frac{1}{n}}$
$\geq 2n(G_{n+1}^{n+1}*A_{n+1}^{n-1})^{\frac{1}{2n}}$

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13 Aug

对称多项式不等式的“物理证明”

本文将再次谈到对称这个话题,不过这一次的对象不是“等式”,而是“不等式”。

在数学研究中,我们经常会遇到各种各样的函数式子,其中有相当一部分是“对称”的。什么是对称的函数呢?对称有很多种说法,但是针对于多元对称式,我们的定义为满足$f(x_1,x_2,...,x_n)=f(y_1,y_2,...,y_n)$的函数,其中$(y_1,y_2,...,y_n)$是$(x_1,x_2,...,x_n)$的任意一个排列。通俗来讲,就是将式子中任意两个未知数交换位置,得到的式子还是和原来的式子一样。例如$sin x+sin y$,把x,y交换位置后得到$sin y+sin x$,还是和原来的一样;再如$xy+yz+zx$,将y,z互换后可以得到$xz+zy+yx$,结果还是和原式一样;等等。有些对称的函数是一个n次的多项式,那么就叫它为n次对称多项式,上边的例子$xz+zy+yx$就是一个三元二次对称多项式。

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