向量结合复数:常曲率曲线(1)
By 苏剑林 | 2011-06-19 | 25143位读者 | 引用在之前的一篇向量系列的文章中,我们通过结合物理与向量来巧妙地推导出了曲线(包括平面和空间的)的曲率半径为
$$R=\frac{v^2}{a_c}=\frac{|\dot{\vec{r}}|^3}{|\dot{\vec{r}}\times \ddot{\vec{r}}|}\tag{1}$$
曲率则是曲率半径的导数:$\rho=\frac{1}{R}$。我们反过来思考一下:曲率恒定的平面曲线是否只有圆?
答案貌似是很显然的,我们需要证明一下。
由于只是考虑平面情况,我们先设$\dot{\vec{r}}=(v cos\theta,v sin\theta)=z=ve^{i\theta}$,代入(1)得到
$\frac{\dot{\theta}}{v}=\rho$————(2)
只要我们曾经拥有过——《萍聚》
By 苏剑林 | 2011-06-06 | 19152位读者 | 引用这首歌是凤儿介绍的,去年我们学校高一夏令营的“主题歌曲”。她说歌词写得很好,我感觉也挺不错的^_^
萍,指的是漂浮在水面上的一种藻类,风吹过来,它们就会在风的作用力下聚在一起。人好象是浮在水面上的荷叶,聚散不过都是风吹动所致,到处飘散而已。因此便有了“萍水相逢”这一成语,指的是无心的邂逅或偶然的相遇。“萍聚”亦然。
曾有宋词写道“风中柳絮水中萍,聚散两无情”,这便让我们倍感人生悲欢离合的无奈。在这个充斥着高考的离别的六月里,离愁味道更浓了。可是,不论如何,明天的事情与我们无关,我们要珍惜今天事,珍惜今天人,尽我所能把握好我所拥有的。正如——
Cherish someone special for you and let them know you cherish them.
这样,当我们真的面临无可奈何的离别时,也能够含泪而微笑地挥手,唱着“只要我们曾经拥有过...”。这就是《萍聚》的声音!
科学空间:2011年6月重要天象
By 苏剑林 | 2011-05-28 | 22635位读者 | 引用遐思1:n次代数方程的解可以这样表示吗?
By 苏剑林 | 2011-05-28 | 24788位读者 | 引用打从科学空间建立起,就已经设立了“问题百科”这一个分类,但内容一直都很少,主要是平时太懒去总结一些问题。现在得要养成善于思考、总结的习惯了。
前几天到网上印刷了《天遇》和《无法解出的方程》来阅读,两者都是我很感兴趣的书。想当初在初中阶段阅读《数学史选讲》时,我最感兴趣的就是解方程方面的内容(根式解),通过研究理解了1到4次方程的求根公式,并通过阅读知道了4次以上的代数方程没有一般的根式可解。这在当时是多么值得高兴的一件事情!!
现在,稍稍阅读了《无法解出的方程》后,结合我之前在代数方程方面的一些总结,提出一个问题:
若任意的一元n次方程$\sum_{i=0}^{n} a_i x^i=0$的根记为$x_i=R_{n,i}(a_0,a_1,...,a_n)$
那么,是否存在大于3的n,使得任意的一元(n+1)次方程的根能够用加、减、乘、除、幂、开方以及$R_{j,i}$(j可以是1到n的任意整数)通过有限步骤运算出来?
这个问题可以换一个近似但不等价的说法:
若一元1次、2次、...、n次均可以根式解答,那么一元(n+1)次方程能否有根式解?
也就是说,(n+1)次方程的根能够表示成 1到n次方程的根与加、减、乘、除、幂、开方的有限次运算?
(不考虑前提的正确与否,显然n=4已经不成立了,当时n=5,6,7,8,...等有没有可能呢?)
期待有人能够解决^_^
两本通俗读物:混沌和对称
By 苏剑林 | 2011-05-28 | 15199位读者 | 引用第一本:《天遇——混沌与稳定性的起源》
一个天体力学中的N体问题的研究,竟然发展出了如此多的现代数学理论,这不能不说是一个令人意外的事情。而事实上,N体问题至今仍是无解,这也许并非坏事,因为未被完全攻克,就意味着“N体问题”仍然还是一只“会下金蛋的母鸡”!
本书是普林斯顿文集之一。作者通过大众化的语言,叙述了天体力学和动力系统理论的历史发展,让读者感到其中那激动人心的故事。BoJone认为,要想了解分析动力学(尤其是天体力学)的发展,本书是一本难得的读物。作为混沌和稳定性理论的入门前读物,本书也是非常适合的。读历史的关键是:学会思想!
地球引力场的悬链线方程
By 苏剑林 | 2011-05-15 | 50630位读者 | 引用之前曾在《自然极值》系列文章中提到过均匀重力场下的悬链线形状问题,并且在那文章中向读者提出:在一个质点(地球)引力场中的悬链线形状会是怎么样的。说实话,提出这个问题的时候,我还不懂怎么解答这个问题,不过现在会了,回头一看,已经几个月了,时间过得真快...
与之前的思路一样,我们依旧采用的是“平衡态公理”,即总势能最小。从天体力学中我们知道,任意两个质点间的势能为$-\frac{Gm_1 m_2}{r}$。对于本题的悬链线问题,我们可以把地球放到坐标原点位置,而悬链的两个固定点分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$,链的总长度为l。即
$$\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{dx^2+dy^2}=l$$
看完了“双不动中心”问题,我们不妨再来看一个貌似简单一点的力学问题,在一个固定质点的引力吸引的基础上,增加一个恒力作用,研究这样的力场中小天体的运动。
咋看上去这个问题比“双不动中心”简单多了,至少运动方程也显得更简单:
$$\ddot{vec{r}}=-GM\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}+\vec{F}$$
其中$\vec{F}$是一个常向量。不过让人比较意外的是,这个问题本质上和“双不动中心”是一样的,它可以看作是双不动中心问题的一个极限情况。而且它们的解法也是惊人地相似,下面我们就来分析这一个过程。
首先很容易写出这个方程的能量守恒积分:
$$1/2 \dot{vec{r}}^2-GM\frac{1}{|\vec{r}|}-\vec{F}\cdot \vec{r}=h$$
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