28 Aug

让风筝飞

最近的很多篇文章都是数论内容,属于纯数学的范畴了,对于很多只爱好物理或应用数学的读者可能会看得头晕了。今天我们来谈些不那么抽象的东西,我们来谈谈风筝,并来分析一下风筝的飞行力学

爱情就像放风筝,线不能来得太紧,也不能拉得太松,你只会给对方飞翔的空间,他/她始终会回到你身边,因为有一条线系着双方。

放风筝(来自互联网).jpg风筝,在我们这个地方叫做纸鸢,相信大家童年时一定会放过。笔者小时候放风筝时,已经是小学五年级之前的事了。这个暑假突然童心一起,凭着小时候的回忆,简单做了个风筝来玩,居然真的飞起来了!兴奋之余,与大家分享一下。如今再来放风筝,真心感觉到放风筝也有很多技巧,让风筝飞,还不是件容易的事情呢,真可谓人生处处皆学问呀。上面关于风筝的比喻,正是放风筝的真实写照吧。

风筝可以说是人类摆脱地球重力的最原始尝试吧,跟发射宇宙飞船的火箭不同,风筝是借助风力来抵抗重力,严格来讲,即便是现在的飞机,也离不开这个原理(我们最后会谈到)。简单来讲,风筝就是用轻的支架撑开一个轻盈的平面,然后系上一个线圈。我们简单做一个风筝,只需要一张报纸,两条竹篾和一点透明胶,十分钟内就可以完成一个。当然,现在已经有各种各样的好看的风筝,甚至还有龙形的风筝,但是,自己动手简单做一个风筝,还是相当好玩的。

风筝自然是借助风力飞起来的,可是为什么风筝得用绳子牵着才能飞得更高、绳断了反而掉下来?风大多时,才适合放风筝?飞机又是怎么飞起来的?下面我们试着分析这些问题。

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25 Mar

一本对称闯物理:相对论力学(二)

从这个系列的第一篇文章到本文,已经隔了好多天。其实本文的内容是跟第一篇的内容同时完成的,为什么这么久才更新呢?原因有二,其一是随着春天的到来人也开始懒起来了,颓废呀~;其二,我在思考着规范变换的问题。按照朗道《场论》的逻辑,发展完质点力学理论后,下一步就是发展场论,诸如电磁场、引力场等。但是场论中有个让我比较困惑的东西,即场论存在着“规范不变性”。按照一般观点,我们是将规范不变性看作是电磁场方程的一个结果,即推导出电磁场的方程后,“发现”它具有规范不变性。但是如果用本文的方法,即假定场有这种对称性,然后就可以构建出场方程了。可是,为什么场存在着规范不变性,我还未能思考清楚。据我阅读到的资料来看,这个不变性似乎跟广义不变性有关(电磁场也是,这似乎说明即使在平直时空的电磁场理论中也暗示了广义不变性?)。还有,似乎这个不变性需要在量子场论中才能得到比较满意的解释,可是这样的话,就离我还很远了。

好吧,我们还是先回到相对论力学的推导中。

“无”中生有

上一篇文章我们已经构建了相对论力学的无穷小生成元,并进行了延拓。我已经说过,仅需要无穷小的变换形式,就可以构建出完成的相对论力学定律出来(当然这需要一些比较“显然”的假设)。这是个几乎从“无”到有的过程,也是本文标题的含义所在。另一方面,这种从局部到整体的可能性,也给我们带来一些启示:假如方法是普适的,那么可以由此构造出我们需要的物理定律来,包括电磁场、引力场方程等。(当然,我离这个目标还有点远。)

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25 Mar

如何看费曼的讲义和朗道的教程?

本文很荣幸得到了高教社的王超编辑(新浪微博 @朗道集结号 )在微信上的推荐,在此表示十分的感谢。

朗道集结号
朗道、费曼、薛定谔、泡利、狄拉克、温伯格……大师在这里等着你,微信号:ldjjhwx

费曼&朗道.jpg事实上,取这个标题,有点狂妄自大、班门弄斧的感觉。原因之一是我自己并非物理专业学生,也没有学好物理。再者,我自己也没有读过多少费曼和朗道的书,谈不上“饱读”费曼朗道,又何以指导大家呢?

但是,结合自己在阅读他们的著作的感受,以及自己学习科学的过程,谈谈我对他们的著作的看法。

什么才是最简洁的方式?

相信不少读者觉得朗道的教程比费曼的讲义要深,感觉朗道的书总有大量的数学公式,而费曼的书则轻松一些。笔者开始也有这样的感觉,但是慢慢读下去,才感到费曼的书甚至比朗道的困难。

在进入讨论之前,我们不妨先想一下:什么才是理解物理的最简洁方式?数学越复杂,就越不好吗?

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19 Mar

一本对称闯物理:相对论力学(一)

简单说说

《可畏的对称》.jpg笔者最近陶醉于从李对称的角度来理解力学和场论,并且计算得到一些比较有趣的结果,遂想在此与大家分享。我发现,仅仅需要一个描述对称的无穷小生成元和一些最基本的假设,几乎就可以完成地推导出整个相对论力学来,甚至推导出整个(经典)场论理论来。这确实是不可思议的,我现在能基本体会到当年徐一鸿大师写的《可畏的对称》的含义了。对称的威力如此之大,以至于我们真的不得不敬畏它。而在构思本文题目的时候,我也曾想到过用“可畏的对称”为题,但不免有抄袭和老套之嫌。后来想到曾有一部漫画叫《一本漫画闯天涯》,遂将“漫画”改成“对称”,“天涯”改成“物理”,似乎也能表达我对“对称”的感觉。

对称就是在某种变换下保持不变的性质,比如狭义相对论要求所有物理定律在所有惯性系中保持不变,这相对于要求描述物理定律的方程在匀速运动的坐标变换下保持不变,结合光速不变的要求,我们就可以推导出洛伦兹变换,从而完成地描述了狭义相对论里边的对称。然而,并不是任何时候都可以想推导洛伦兹变换那样,能够把一个完整的变换推导出来的。幸好,李对称的不需要完整的对称描述,它只需要“无穷小变换”(意味着我们可以忽略掉高阶项),对应地产生一个“无穷小生成元”,用这个无穷小生成元,就足以完整构建出我们所需要的物理来。这种“无穷小”决定“广泛”、“局部”决定“全局”的奇妙至今仍让我觉得不可思议。(关于李对称、无穷小生成元的基本概念,不妨先阅读:《求解微分方程的李对称方法》

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18 Mar

倒立单摆之分离频率

Mathieu方程

在文章《有质动力:倒立单摆的稳定性》中,我们分析了通过高频低幅振荡来使得倒立单摆稳定的可能性,并且得出了运动方程
$$l\ddot{\theta}+[h_0 \omega^2 \cos(\omega t)-g]\sin\theta=0$$

由此对单摆频率的下限提出了要求$\omega \gg \sqrt{\frac{g}{h_0}}$。然而,那个下限只不过是必要的,却不是充分的。如果要完整地分析该单摆的运动方程,最理想的方法当然是写出上述常微分方程的解析解。不过很遗憾,我们并没有办法做到这一点。我们只能够采取各种近似方法来求解。近似方法一般指数值计算方法,然后笔者偏爱的是解析方法,也就是说,即使是近似解,也希望能够求出近似的解析解。

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13 Mar

一维弹簧的运动(下)

在上一篇文章中,我们得到了一维弹簧运动的方程
$$m\frac{\partial^2 X}{\partial t^2}=k\frac{\partial^2 X}{\partial \xi^2}$$
并且得到了通解
$$X=F(u)+H(v)=F(\xi+\beta t)+H(\xi-\beta t)$$
或者
$$X(\xi,t)=\frac{1}{2}\left[X_0(\xi+\beta t)+X_0(\xi-\beta t)\right]+\frac{1}{2\beta}\int_{\xi-\beta t}^{\xi+\beta t} X_1 (s)ds$$
在文章的末尾,提到过这个解是有些问题的。现在让我们来详细分析它。

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11 Mar

一维弹簧的运动(上)

我们通常用一个波动方程来描述弦的振动,但是,弦的振动是二维的,也就是说,它的“波”是在垂直方向的位移。让我们来考虑一根一端固定的一维理想弹簧,胡克系数为$k$,它的松弛状态是均匀的,线密度是$\rho$,长度是$l$,质量是$m$。

如何弹?
我们要分析这根弹簧的运动,即给定弹簧的初始状态,看弹簧的密度如何变化,这种情况类似于“横波”。但是,弹簧本身是连续介质,这是我们不熟悉的,但是我们可以将它离散化,将它看成无数个小质点的弹簧链。如下图

离散的弹簧.png

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16 Feb

带点电荷的均匀杆

在讨论了倒立单摆的相关分析之后,胡雄大哥(笔者的一位好友)提出了一个问题:一根均匀杆,当然质量不可忽略,只有一个力(简单起见,可以先假设为恒力)作用在其中一个点上(简单起见,可以假设为端点),那么杆是怎么运动的?

其实笔者学了不少的经典力学,也分析了不少问题,但就是对于力矩、角动量等还是模模糊糊的,对于我来说,大多数经典力学问题就是“作用量+变分”,本题也不例外。为了让题目的实验意义更加明确,不妨将题目改成:

一根中性的均匀杆,它的一个端点带有一个点电荷,那么它(仅仅)在一个均匀电场中的运动是怎样的?

在这里,我们进一步简化,只考虑平面问题。杆属于刚体,为了描述杆的运动,我们需要描述杆上一点的运动,以及杆绕这一点的转动,也就是说,即使只考虑平面的情况,该系统也是有三个自由度的。设杆的带电荷那一端点的坐标为$(x,y)$,为了描述杆的转动,以这一端点为中心建立极坐标系,设杆的极角为$\theta$。设电势的函数为$U(x,y)$,因为只有一点带电(受力),因此势能是简单的。

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