30 May

路径积分系列:2.随机游走模型

随机游走模型形式简单,但通过它可以导出丰富的结果,它是物理中各种扩散模型的基础之一,它也等价于随机过程中的布朗运动.

笔者所阅的文献表明,数学家已经对对称随机游走问题作了充分研究[2],也探讨了随机游走问题与偏微分方程的关系[3],并且还研究过不对称随机游走问题[4]. 然而,已有结果的不足之处有:1、在推导随机游走问题的概率分布或者偏微分方程之时,所用的方法不够简洁明了;2、没有研究更一般的不对称随机游走问题.

本章弥补了这一不足,首先通过母函数和傅立叶变换的方法,推导出了不对称随机游走问题所满足的偏微分方程,并且提出,由于随机游走容易通过计算机模拟,因此通过随机游走来模拟偏微分方程的解是一种有效的数值途径.

模型简介

本节通过一个本质上属于二项分布的走格子问题来引入随机游走.

考虑实数轴上的一个粒子,在$t=0$时刻它位于原点,每秒钟它以相等的概率向前或向后移动一格($+1$或$-1$),问$n$秒后它所处位置的概率分布.

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30 May

路径积分系列:1.我的毕业论文

之前承诺过会把毕业论文共享出来,让大家批评指正,却一直偷懒没动。事实上,毕业论文的主要内容就是路径积分的一些入门级别的内容,标题为《随机游走、随机微分方程与偏微分方程的路径积分方法》。我的摘要是这样写的:

本文从随机游走模型出发,得到了关于随机游走模型的一般结果;然后基于随机游走模型引入了路径积分,并且通过路径积分方法,实现了随机游走、随机微分方程与抛物型微分方程的相互转化,并给出了一些计算案例.

路径积分方法是量子理论的一种形式,但实际上它可以抽象为一个有用的数学工具,本文的主要方法正是抽象后的路径积分;其次,量子力学中有一个相当典型的抛物型偏微分方程——薛定谔方程,物理学家已经对它进行了大量的研究,有众多的成果;而随机微分方程是一个微分方程的拓展,在物理、工程、金融等很多方面都有重要应用,这个领域中也有很多研究方法;最后,随机游走是一个简单而重要的模型,它是很多扩散模型的基础,而且具有容易使用计算机模拟的特性. 因此,实现三者的转化是很有意义的.

本文有一些新的内容,比如现有文献比较少研究的不对称随机游走方面、以及现有文献比较含糊的对路径积分的介绍等,可以供同好参考,希望借此方式,能够让一些读者以更简洁明了的方式理解路径积分. 但是本文主要是陈述性的,旨在在国内推广路径积分方法. 在国外,路径积分方法得到了相当的重视,它源于量子力学,但应用已经不仅仅限于量子力学,如著作[1],因此,推广路径积分方法、增加路径积分的中文资料,是很有意义和很有必要的事情.

本文所有推导和例子均以一维为例,相应的多维问题可以类似地计算。

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15 Apr

斯特灵(stirling)公式与渐近级数

斯特灵近似,或者称斯特灵公式,最开始是作为阶乘的近似提出
$$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$
符号$\sim$意味着
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}{n!}=1$$
将斯特灵公式进一步提高精度,就得到所谓的斯特灵级数
$$n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\left(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}\dots\right)$$
很遗憾,这个是渐近级数。

相关资料有:
https://zh.wikipedia.org/zh-cn/斯特灵公式
https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation
本文将会谈到斯特灵公式及其渐近级数的一个改进的推导,并解释渐近级数为什么渐近。

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9 Apr

一个非线性差分方程的隐函数解

问题来源

笔者经常学习的数学研发论坛曾有一帖讨论下述非线性差分方程的渐近求解:
$$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n^2},\, a_1=1$$
原帖子在这里,从这帖子中我获益良多,学习到了很多新技巧。主要思路是通过将两边立方,然后设$x_n=a_n^3$,变为等价的递推问题:
$$x_{n+1}=x_n+3+\frac{3}{x_n}+\frac{1}{x_n^2},\,x_1=1$$
然后可以通过巧妙的技巧得到渐近展开式:
$$x_n = 3n+\ln n+a+\frac{\frac{1}{3}(\ln n+a)-\frac{5}{18}}{n}+\dots$$
具体过程就不提了,读者可以自行到上述帖子学习。

然而,这种形式的解虽然精妙,但存在一些笔者不是很满意的地方:

1、解是渐近的级数,这就意味着实际上收敛半径为0;
2、是$n^{-k}$形式的解,对于较小的$n$难以计算,这都使得高精度计算变得比较困难;
3、当然,题目本来的目的是渐近计算,但是渐近分析似乎又没有必要展开那么多项;
4、里边带有了一个本来就比较难计算的极限值$a$;
5、求解过程似乎稍欠直观。

当然,上面这些缺点,有些是鸡蛋里挑骨头的。不过,也正是这些缺点,促使我寻找更好的形式的解,最终导致了这篇文章。

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1 Apr

《量子力学与路径积分》习题解答V0.5

习题解答继续艰难推进中,目前是0.5版本,相比0.4版,跳过了8、9章,先做了第10、11章统计力学部分的习题。

第10章有10道习题,第11章其实没有习题。看上去很少,但其实每一道习题的难度都很大。这两章的主要内容都是在用路径积分方法算统计力学中的配分函数,这本来就是一个很艰辛的课题。加上费曼在书中那形象的描述,容易让读者能够认识到大概,但是却很难算下去。事实上,这一章的习题,我参考了相当多的资料,中文的、英文的都有,才勉强完成了。

虽说是完成,但10道题目中,我只完成了9道,其中问题10-3是有困惑的,我感觉的结果跟费曼给出的不一样,因此就算不下去了。在这里提出来,希望了解的读者赐教。

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20 Mar

[欧拉数学]伯努利级数及相关级数的总结

最近在算路径积分的时候,频繁地遇到了以下两种无穷级数:
$$\sum_n \frac{1}{n^2\pm\omega^2}\quad \text{和} \quad \prod_n \left(1\pm\frac{\omega^2}{n^2}\right)$$
当然,直接用Mathematica可以很干脆地算出结果来,但是我还是想知道为什么,至少大概地知道。

伯努利级数

当$\omega=0$的时候,第一个级数变为著名的伯努利级数
$$\sum_n \frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\dots$$
既然跟伯努利级数有关,那么很自然想到,从伯努利级数的求和入手。

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20 Feb

熵的形象来源与熵的妙用

在拙作《“熵”不起:从熵、最大熵原理到最大熵模型(一)》中,笔者从比较“专业”的角度引出了熵,并对熵做了诠释。当然,熵作为不确定性的度量,应该具有更通俗、更形象的来源,本文就是试图补充这一部分,并由此给出一些妙用。

熵的形象来源

我们考虑由0-9这十个数字组成的自然数,如果要求小于10000的话,那么很自然有10000个,如果我们说“某个小于10000的自然数”,那么0~9999都有可能出现,那么10000便是这件事的不确定性的一个度量。类似地,考虑$n$个不同元素(可重复使用)组成的长度为$m$的序列,那么这个序列有$n^m$种情况,这时$n^m$也是这件事情的不确定性的度量。

$n^m$是指数形式的,数字可能异常地大,因此我们取了对数,得到$m\log n$,这也可以作为不确定性的度量,它跟我们原来熵的定义是一致的。因为
$$m\log n=-\sum_{i=1}^{n^m} \frac{1}{n^m}\log \frac{1}{n^m}$$

读者可能会疑惑,$n^m$和$m\log n$都算是不确定性的度量,那么究竟是什么原因决定了我们用$m\log n$而不是用$n^m$呢?答案是可加性。取对数后的度量具有可加性,方便我们运算。当然,可加性只是便利的要求,并不是必然的。如果使用$n^m$形式,那么就相应地具有可乘性。

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15 Feb

积分估计的极值原理——变分原理的初级版本

如果一直关注科学空间的朋友会发现,笔者一直对极值原理有偏爱。比如,之前曾经写过一系列《自然极值》的文章,介绍一些极值问题和变分法;在物理学中,笔者偏爱最小作用量原理的形式;在数据挖掘中,笔者也因此对基于最大熵原理的最大熵模型有浓厚的兴趣;最近,在做《量子力学与路径积分》的习题中,笔者也对第十一章所说的变分原理产生了很大的兴趣。

对于一样新东西,笔者的学习方法是以一个尽可能简单的例子搞清楚它的原理和思想,然后再逐步复杂化,这样子我就不至于迷失了。对于变分原理,它是估算路径积分的一个很强大的方法,路径积分是泛函积分,或者说,无穷维积分,那么很自然想到,对于有限维的积分估计,比如最简单的一维积分,有没有类似的估算原理呢?事实上是有的,它并不复杂,弄懂它有助于了解变分原理的核心思想。很遗憾,我并没有找到已有的资料描述这个简化版的原理,可能跟我找的资料比较少有关。

从高斯型积分出发

变分原理本质上是Jensen不等式的应用。我们从下述积分出发
$$\begin{equation}\label{jifen}I(\epsilon)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-\epsilon x^4}dx\end{equation}$$

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