开发太空天梯.jpg

漫话
BoJone认为,科学的意义并非在于无休止地计算,而是利用有限的科学理论来解释尽可能多的自然、生活现象。正因如此,科学家们追求和谐、简洁、优美的科学理论。科学就是想方设法地把未知变成已知,并在此基础上进一步发展。

随着媒体技术的发展,我们接触信息的渠道越来越多。每每我们从互联网或报纸上看到一则科学新闻时,我们几乎都会为之兴奋。但是,外行看热闹,内行看门道。对于真正热爱科学的朋友来说,也许会更加感兴趣新闻内容的来由。也就是说,我们希望进一步了解结论是怎样得出来的——哪怕只是在很浅的层面上认识。

天梯

以下内容来自互联网

1895年,俄罗斯科学家首次提出太空梯概念,历经上百年研究,这个梦想仍未实现。太空梯基本上就是一条长长的缆绳---一端固定在地球上,另一端固定在地球同步轨道的平衡物(如大卫星)上。在引力和向心加速度的相互作用下,缆绳被绷紧,太空梯将利用太阳能或激光能沿缆绳上下运动。

太空梯想象图.jpg

从上世纪末起,美国NASA(美国国家航空航天局)和一些高科技公司就开始大力研究从地球上建造“太空电梯”通向10万公里高的太空中的可行性。然而,由于建造“太空电梯”所用的碳纳米绳技术过难,成本过高,“太空电梯”至今仍停留在美好的蓝图阶段。

最近,美国、日本都对外宣布要建造长达几万甚至十几万公里的天梯。实际上,美国宇航局近年来确实非常重视太空梯项目,已将建设太空梯列为了“百年挑战”计划的首个项目。美国的迈克尔·莱恩在2003年成立了LiftPort公司,投入巨资研究从地球通往太空的天梯。

分析
天梯-简化图.PNG也许有的朋友会感到纳闷:为什么宇航局们非要一建就建数万公里的天梯,而不是先建数百或数千公里的天梯呢?下面我们来分析一下天梯的长度。为了尽可能比减少能源消耗,我们希望能够利用引力与惯性离心力来维持平衡。这就要求天梯高度要满足一定条件。为了简化计算,我们设想天梯是一根均匀的线,如图,设线密度为λ。由于天梯相对地球是静止的,因此线上的每一个点都在做角速度等于地球自转角速度的圆周运动(目前只考虑地球引力)。我们首先计算地球对此天梯的引力。设地球质量为M,天梯总质量为m。

天梯上一个距离地心r处、质量为dm的点,所受到地球的引力为$dF_G=\frac{GMdm}{r^2}=frac{GM\lambda dr}{r^2}$,那么总引力为
$F_G=\int_R^{R+h} frac{GM\lambda dr}{r^2}=\frac{GM\lambda h}{R(R+h)}=\frac{GMm}{R(R+h)}$

接着分析惯性离心力,天梯上一个距离地心r处、质量为dm的点,其惯性离心力为$dF_C=dm*r\omega^2=\lambda \omega^2 rdr$,那么总离心力为
$F_C=\int_R^{R+h} \lambda \omega^2 rdr=\frac{\lambda h \omega^2}{2}(2R+h)=\frac{m\omega^2}{2}(2R+h)$

当两者相等时
$\frac{GMm}{R(R+h)}=\frac{m\omega^2}{2}(2R+h)$

$h=\sqrt{\frac{2GM}{\omega^2 R}+(R/2)^2}-\frac{3R}{2}$
$h=\sqrt{\frac{v_2^2}{\omega^2 }+\frac{R^2}{4}}-\frac{3R}{2}$

其中$v_2$是第二宇宙速度。对于地球来说,h大约为14万公里。

成本
从上面计算可知,h与天梯质量无关,那为什么还希望用更轻的材料制造天梯呢?实际上,长达10万公里的天梯得用运载火箭运送到10万公里之外,这就不得不考虑质量了。因为基本上运送成本与质量和距离都成正比(该说法其实不严格,严格只能说是质量越大、距离越长,成本越高)。此外,质量越低,就表明质量越可以被忽略,于是稳定性更强。

善于思考的朋友会设置这样一个方案:天梯顶端放一个质量为m'的质点,以下部分才用均匀材料。不错,这个想法很好,这会缩短天梯的长度,然而天梯的总质量会增加。此时平衡方程是:
$\frac{GM\lambda h}{R(R+h)}+\frac{GMm'}{(R+h)^2}=\frac{\lambda h\omega^2}{2}(2R+h)+m'(R+h)\omega^2$

我们总会发现总质量$\lambda h+m'$会更大。不过,这个想法并不失可行。因为“运送成本与质量和距离都成正比”,当真正需要建设时,我们会找到一个最佳的方案,或许运送的总质量增加了,但是成本减少了。

“天铁”
请问几层太空下梯?(未来天梯模拟).jpg
在一些更长远的构想中,地球上的太空梯建好后将和月球梯连成一体,人们经过几次换乘,可以方便地抵达月球。美国“CNET科技网”一篇文章略带调侃地描述了未来太空梯中的情景,“电梯门打开,一名年老的电梯操作员彬彬有礼地向太空乘客们问道,‘请问在第几层太空下梯?’”

这难道是传说中的“天铁”?


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