$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+...$
最近为了数学竞赛,我研究了有关数列和排列组合的相关问题。由于我讨厌为某个问题而设计专门的技巧,所以我偏爱通用的方法,哪怕过程相对麻烦。因此,我对数学归纳法(递推法)和生成函数法情有独钟。前者只需要列出问题的递归关系,而不用具体分析,最终把问题转移到解函数方程上来。后者则巧妙地把数列${a_n}$与幂级数$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$一一对应,巧妙地通过代数运算或微积分运算等得到结果。这里我们不用考虑该级数的敛散性,只需要知道它对应着哪一个“母函数”(母函数展开泰勒级数后得到了级数$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$)。显然,这两种方法的最终,都是把问题归结为代数问题。

生成函数法首先由拉普拉斯应用到概率中,然后得到推广,成为一种应用广泛的方法。由于使用的是代数方法,因而扩展性非常强。以后会用一定篇幅来和大家探讨生成函数法的应用,不过在这里我们先来研究一个问题:生成函数法一般对应着的是一个无穷级数,那么给出$a_n$的通项公式,我们得得出$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$对应的函数。下面我们要研究的是$\sum_{n=1}^\infty n^m x^n,m\in N_+$,m是常数。即$1^m x+2^m x^2+3^m x^3+...$。

从微积分的知识中,我们已经得到
$\sum_{n=1}^\infty n^0 x^n=x+x^2+x^3+...=\frac{1}{1-x}-1$

并且有
$\sum_{n=1}^\infty n^m x^n=x\sum_{n=1}^\infty n^m x^{n-1}=x\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n^{m-1} x^n)}{dx}=x\frac{\sum_{n=1}^\infty n^{m-1} x^n}{dx}$

通过这个变换,我们将问题的$n^m$“降次”成了$n^{m-1}$,沿着这个思想,我们可以得到递推公式。设$T_m=\sum_{n=1}^\infty n^m x^n$,则

$T_1=\frac{x}{1-x}$
$T_{m+1}=x\frac{dT_m}{dx}$


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