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1929年哈勃(Edwin Hubble)对河外星系的视向速度与距离的关系进行了研究。当时只有46个河外星系的视向速度可以利用,而其中仅有24个有推算出的距离,哈勃得出了视向速度与距离之间大致的线性正比关系。


不少宇宙学的书籍中都提到了标题,那么,为什么哈勃定律是宇宙各向同性的体现?或者说为什么宇宙各向同性就必然导致哈勃定律?

首先我们得需要了解一下宇宙学原理,它告诉我们宇宙在大尺度范围是均匀的、各向同性的。基于这个原理,我们会得到一些很奇怪的东西,如宇宙中的每一点都是宇宙的中心。另外,我们还可以得到:宇宙的(整体)运动情况在每一个方向都应该取相同的形式。

宇宙膨胀-简单图示.PNG

就让我们以这个宇宙学原理来研究宇宙的膨胀问题吧。假设在C处的观测者看到A天体的向径为$\vec{r}$,速度为$\dot{\vec{r}}=f(\vec{r})$;看到B天体的向径为$\vec{R}$,根据各向同性原理,B的速度$\dot{\vec{R}}$也是关于$\vec{R}$的$f()$函数,因此也有$\dot{\vec{R}}=f(\vec{R})$。

现在换B点的观测者看C天体了。显然向径为$\vec{R}-\vec{r}$,速度为$\frac{d(\vec{R}-\vec{r})}{dt}=\dot{\vec{R}}-\dot{\vec{r}}$,由于各向同性,从B点和A点观测C的运动情况应该是一样的,因此速度$\dot{\vec{R}}-\dot{\vec{r}}$也是关于$\vec{R}-\vec{r}$的$f()$函数,即$\dot{\vec{R}}-\dot{\vec{r}}=f(\vec{R}-\vec{r})=f(\vec{R})-f(\vec{r})$

接下来我们将看到,满足上式的,只有正比例函数。其实这等价于解数学中的函数方程$f(x-y)=f(x)-f(y)$,取x=y=0,立即得到f(0)=0,取x=a+1,y=1得$f(a+1)-f(a)=f(1)$,这类似与我们所学的等差数列,于是可以写出$f(x)=(x-1)*f(1)+f(1)=f(1)*x=kx$,其中k是常数。虽然结果的得出只是针对x是自然数,但是单从自然数这一“片面”已经得到了唯一的结果。也就是说,我们证明了满足$f(x-y)=f(x)-f(y)$的只有正比例函数。同样,满足$f(\vec{R}-\vec{r})=f(\vec{R})-f(\vec{r})$的就只有正比例函数$\vec{v}(\vec{r})=H_0 \vec{r}$了,于是哈勃定律是必然的。

各向同性膨胀.jpg


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