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关于这个不等式由来已久,从$\frac{a+b}{2}>=\sqrt{ab}$开始,人们逐渐地发现,只要$a_1,a_2,...,a_n>=0$,那么就一定会有$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}>=\root{n}{a_1 a_2...a_n}$。对于比较小的n,人们已经可以证明上式成立,但是,一般形式的证明则是近年来的事情。

我自己很早就接触到了这个不等式(好像是3年前,我读六年级),从那个时候开始,我就一直寻找这个不等式的证明,但是除了n=2的情况外,其余一直未果。直到三个月前的一节数学课,在发愣之余就想出来了(^_^)。一开始证明了n=3的情况,然后就势如破竹,证明了对于任何的n,这条不等式都成立。

事实上,上述不等式也等价于$a_1^n+a_2^n+...+a_n^n>=n a_1 a_2...a_n$,本文目的要证明这一条不等式。采用的方法是“数学归纳法”,即当n=k时不等式成立的条件是n=k-1,n=k-2,...,n=1时不等式都要成立,而我们可以证明直接n=2成立,于是便逐步证明了该不等式。现将证明描述如下(这里的a,b,c等字母都表示非负数):

在描述通用的证明前,我们不妨看几个例子

(1)证明:$a^2+b^2>=2ab$
我们不妨抛弃书本上的证明,令$a\leq b,b=a+x$,那么就有$a^2+(a+x)^2>=2a(a+x)$,拆开后变成$2a^2+2ax+x^2>=2a^2+2ax$,很明显这是成立的。

(2)证明:$a^3+b^3+c^3>=3abc$
同样的办法,令$a\leq b\leq c,b=a+x,c=a+y$,那么就有$a^3+(a+x)^3+(a+y)^3>=3a(a+x)(a+y)$,拆开$a^3+a^3+3a^2 x+3ax^2+x^3+a^3+3a^2 y+3ay^2+y^3>=3a^3+3a^2 x+3a^2 y+3axy$
变为:$x^3+y^3+3a(x^2+y^2)>=3axy$,很明显$x^2+y^2>=xy$,因此该式是成立的。

看完后,大家明白证明的要诀了吧?一般情形的证明如下

初等数学语言版本

假设对于n的值为1,2,...,n-1,该不等式成立,那么证明:$a_1^n+a_2^n+...+a_n^n>=n a_1 a_2...a_n$

令$a_{i+1}>=a_i,a_1=a,a_{i+1}=a+x_i$,其中i=1,2,3,...,n。变成:

$a^n+(a+x_1)^n+...+(a+x_{i-1})^n>=na(a+x_1)...(a+x_{i-1})$,根据杨辉三角展开:

$a^n+$
$a^n+C_n^1 a^{n-1}x_1+C_n^2 a^{n-2}x_1^2+...+x_1^n+$
$a^n+C_n^1 a^{n-1}x_2+C_n^2 a^{n-2}x_2^2+...+x_2^n+$
$......+$
$a^n+C_n^1 a^{n-1}x_{n-1}+C_n^2 a^{n-2}x_{n-1}^2+...+x_{n-1}^n>=$
$na^n+na^{n-1}(x_1+x_2+...+x_{n-1})+na^{n-2}(x_1 x_2+x_1 x_3+...+x_{n-2}x_{n-1})+$
$...+nax_1 x_2...x_{n-1}$

注:这里的$C_a^b$是指排列组合数,也是杨辉三角中数的计算公式。定义为:从a个不同数中挑选出b个数的不同组合方式的数目,计算规则为:$C_a^b=\frac{a!}{b!(a-b)!}$

对消,合并,有

${C_n^2}/{n}a^{n-2}(x_1^2+...x_{n-1}^2)+{C_n^3}/{n}a^{n-3}(x_1^3+...x_{n-1}^3)+...+{x_1^n+x_2^n+...+x_{n-1}^n}/{n}$
$>=a^{n-2}(x_1 x_2+...+x_{n-2}x_{n-1})+a^{n-3}(x_1 x_2 x_3+...+x_{n-3}x_{n-2}x_{n-1})+...$
$+ax_1 x_2...x_{n-1}$ ————(A)

为了证明原式,则必须证明上式成立。

$(x_1 x_2+...+x_{n-2}x_{n-1})$的项数为$C_{n-1}^2$,$(x_1 x_2 x_3+...+x_{n-3}x_{n-2}x_{n-1})$的项数为$C_{n-1}^3$。

通过轮换相乘可以知道,当
$a_1^p+a_2^p+...+a_p^p>=p a_1 a_2...a_p$
成立的时候,必定有${C_{n-1}^p}/{n-1}(x_1^p+...+x_{n-1}^p)>=(x_1 x_2...x_p+...+x_{n-p}x_{n-p+1}...x_{n-1})$

而又有${C_{n}^p}/{n}>={C_{n-1}^p}/{n-1}$,因此在(A)中,左边的每一项都不小于右边相对应的项,所以(A)式成立。因此$a_1^n+a_2^n+...+a_n^n>=n a_1 a_2...a_n$成立

看完后,是不是感到很复杂?相信我,只要用点心阅读,一定会觉得很简单。特别是如果用来证明n比较小的特例,这绝对是最完美的方法!


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