级数是数学的一门很具有实用性的分支,而级数求和则是级数研究中的核心内容之一。很多问题都可以表示成一个级数的和或积,也就是$\sum_{i=1}^n f(i)$或者是$\prod_{i=1}^n f(i)$类型的运算。其中,$ln(\prod_{i=1}^n f(i))=\sum_{i=1}^n ln(f(i))=k$,因此$\prod_{i=1}^n f(i)=e^k$,也就是说,级数求积也可以变为级数求和来计算,换言之我们可以把精力放到级数求和上去。

为了解决一般的级数求和问题,我们考虑以下方程的解:
$f(x+\epsilon)-f(x)=g(x)$————(1)
其中g(x)是已知的以x为变量的函数式,$\epsilon $是常数,初始条件是$f(k)=b$,要求f(x)的表达式。

把$f(x+\epsilon )$用泰勒级数展开,得到
$f(x+\epsilon )=f(x)+f'(x)\epsilon +1/2 f''(x)\epsilon^2+1/6 f'''(x)\epsilon^3+...$
代入原方程后得到
$f'(x)\epsilon +1/2 f''(x)\epsilon^2+1/6 f'''(x)\epsilon^3+...=g(x)$————(2)
逐项积分得
$f(x)\epsilon +1/2 f'(x)\epsilon^2+1/6 f''(x)\epsilon^3+1/24 f'''(x)\epsilon^4+...=\int g(x)dx$
整理得到
$f(x)\epsilon =\int g(x)dx-(1/2 f'(x)\epsilon^2+1/6 f''(x)\epsilon^3+1/24 f'''(x)\epsilon^4+...)$————(3)

将(1)各项微分,得到
$f'(x+\epsilon)-f'(x)=g'(x)$————(4)
由公式(2)可以得到
$f'(x)\epsilon =\int g'(x)dx-(1/2 f''(x)\epsilon^2+1/6 f'''(x)\epsilon^3+1/24 f^{(4)}(x)\epsilon^4+...)$————(5)
将(5)代入(3)得到
$f(x)\epsilon = \int g(x)dx-{1/2 [g(x)-(1/2 f''(x)\epsilon^2+1/6 f'''(x)\epsilon^3+1/24 f^{(4)}(x)\epsilon^4+...)]\epsilon^2$
$+1/6 f''(x)\epsilon^3+1/24 f'''(x)\epsilon^4+..}$
$= \int g(x)dx-1/2 g(x)+\sum_{i=2}^{\infty}(1/2*1/{i!}\epsilon^{i+2}-1/{(i+1)!}\epsilon^{i+1}) f^{(i)}(x)$————(6)

上面的推算会给我们一些启示:我们可以发现,方程
$f(x+\epsilon)-f(x)=g(x)$
的解可以表示为级数
$\epsilon f(x)=C+a_0\int g(x)dx+a_1 g(x)+a_2 g'(x)+a_3 g''(x)...$————(7)

其中C和a都是只和$\epsilon$有关的常数。将这个解代入(2)后得到
$a_0 g(x)+a_1 g'(x)+a_2 g''(x)+a_3 g'''(x)...+$
$1/2*(a_0 g'(x)+a_1 g''(x)+a_2 g'''(x)+a_3 g^{(4)}(x)...)\epsilon$
$+1/6*(a_0 g''(x)+a_1 g'''(x)+a_2 g^{(4)}(x)+a_3 g^{(5)}(x)...)\epsilon^2+...=g(x)$

整理得
$a_0 g(x)+(a_1+1/2 a_0 \epsilon) g'(x)+(a_2+1/2 a_1 \epsilon+1/6 a_0 \epsilon^2) g''(x)+$
$(a_3+1/2 a_2 \epsilon+1/6 a_1 \epsilon^2+1/{24} a_0 \epsilon^2) g'''(x)+...=g(x)$

根据级数相等的原则,必须要求
$a_0=1,\sum_{i=0}^n(a_i \epsilon^{n-i}*\frac{1}{(n+1-i)!})=0$

或者写成
$a_0=1,a_n=-\sum_{i=0}^{n-1}(a_i \epsilon^{n-i}*\frac{1}{(n+1-i)!})$————(8)

到此,我们已经求出了方程$f(x+\epsilon)-f(x)=g(x)$的通解了。并且根据初始条件,我们可以得出唯一解。即
$\epsilon f(x)=b\epsilon +[a_0\int g(x)dx+a_1 g(x)+a_2 g'(x)+a_3 g''(x)...]_k^x$

上面讨论了一大片,也许有的读者会感到一片茫然:这和级数有什么关系呀??有,当然有!请看————
设$S(n)=\sum_{i=1}^n f(i)$,那么$S(n+1)-S(n)=f(n+1)$。

现在你明白了吧,如果已知通项公式,那么级数求和就等价于方程(1)中$\epsilon=1$的情况!为了应用方便,我们把(8)式中$\epsilon=1$的系数都列出来:

$a_0=1$
$a_1=-1/2,a_2=1/12$
$a_3=0,a_4=-1/720$
$a_5=0,a_6=1/30240$
$a_7=0,a_8=-1/1209600$
$a_9=0,a_10=1/47900160$
$a_11=0,a_12=-691/1307674368000$
......

可见,收敛是迅速的。这种求和方法就是著名的“欧拉——马克劳林求和公式”。根据上面的结果,我们尝试为寻找一些求和公式,如$\sum_{x=1}^n x^3$,可以按照以下步骤:

$s(n+1)-s(n)=(n+1)^3,S(1)=1$
$\int (n+1)^3=1/4 (n+1)^4$
$\frac{d(n+1)^3}{dn}=3(n+1)^2$
$\frac{d^2(n+1)^3}{dn^2}=6(n+1)$
$\frac{d^3(n+1)^3}{dn^3}=6$

因此
$\sum_{x=1}^n x^3=S(n)=$
$1+[1/4 (n+1)^4+(n+1)^3*(-1/2)+3(n+1)^2*(1/12)+6*(-1/720)]_1^n$
$={n^4}/4+{n^3}/2+{n^2}/4$

另外,比如可以为n!寻找一条近似公式。$ln(n!)=\sum_{x=1}^n ln x$,即求解$s(x+1)-s(x)=ln(x+1)$。而$\int ln (x+1) dx=(x+1) ln(x+1) -(x+1)+Const$,于是很自然地,一级近似就是$n!\approx e^{(x+1) ln(x+1) -(x+1)+2(1-ln2)}$,并可以继续写出:
$\sum_{x=1}^n ln x=C_0+[(x+1) ln(x+1) -(x+1)-1/2 ln(x+1)+$
$1/{12(x+1)}-1/{360(x+1)^3}+1/{1260(x+1)^5}-1/{1680(x+1)^7}..]_k^n$
其中$C_0=\sum_{x=1}^k ln x$,可见,这条公式是收敛的。


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