本文不是微积分教程,而是发表自己学习中的一些看法,以及与同好们讨论相关问题。

拿起任何一本“微积分”教程,都可以看见那专业而严格的数学语言,因此很多人望而生畏。的确,由于牛顿和莱布尼茨创立的微积分是不严格的,因此引发了第二次数学危机。经过法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯的努力,使得微积分有了前所未有的严密化,克服了第二次数学危机。加之后来的第三次数学危机,数学就更加严密了。

但是对于初学者,严密化的微积分令人十分费解。因此,我们不妨按照微积分的创立顺序,即“不严密——严密”的顺序来学习。这样不仅能够让我们更高效率地学习,而且增加学习数学的兴趣。

一般来讲,微积分的教程的顺序为:集合、映射,函数、极限、导数、微分、积分、...一直深入下去的。其中“集合、映射,函数”这三个部分只是为了严密地给出定义,真正的求解是从极限开始的(当然前面的基础也不可忽略)。

极限的意义为:当函数$f(x)$中,x以无限接近的程度去逼近预先给出的$x_0$(或者是$\infty$,这里是“无限接近”,并不等于,是克服数学危机的主要步骤),求得$f(x)$的值。若$f(x)$趋向一个确定的值,则称极限存在;反之则极限不存在。

注:当$x_0=\infty$或者$x_0=0$的时候,有正负之分。即$x_0=+\infty,x_0=-\infty$或者$x_0=+0,x_0=-0$,极限存在的条件,除了要趋向一个稳定的值外,对于正负的极限也必须相等,比如$\lim_{x \to +\infty} f(x)=\lim_{x \to -\infty} f(x)$,这样才能够称为极限存在。若$\lim_{x \to +\infty} f(x) \neq \lim_{x \to -\infty} f(x)$,则极限不存在。

微积分的运算过程是:先运算、化简,然后取值代入。

下面是一些关于求极限的练习题目,我进行了解答。这只是我认为值得一写的题目,并不全面。解答的过程有可能不严密,但是有效,这是我的风格^_^:

(1) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^4+n+1}-n^2)(n+3)$

解答:
这首先要了解一条公式:$\sqrt{a^2+b}=a+\frac{b}{2a+\frac{b}{2a+\frac{b}{2a+...}}}$,我是根据一种方程迭代法推导出来的。应用到求极限很方便。如下:
$$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^4+n+1}-n^2)(n+3) \\ =\lim_{n \to \infty} (n^2+\frac{n+1}{2n^2+\frac{n+1}{2n^2+...}}-n^2)(n+3) \\ =\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n+3)}{2n^2+\frac{n+1}{2n^2+...}}$$

因为$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n^2} \to 0$,所以可以忽略后面的,只考虑
$$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n+3)}{2n^2} \\ =\lim_{n \to \infty} 1/2 (1+1/n)(1+3/n)=1/2$$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x} sin x}{x+1}$

解答:
$$\frac{\sqrt[3]{x} sin x}{x+1} < \frac{\sqrt[3]{x} sin x}{x} = x^{-2/3}sin x$$
当$x \to \infty$,有$x^{-2/3} \to 0,|sin x| \leq 1$,所以
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x} sin x}{x+1} \to 0$$

(3) $\lim_{n \to 0} \frac{e^n-1}{n}=1$

解答:
$e^n=1+n+\frac{n^2}{2!}+\frac{n^3}{3!}+\frac{n^4}{4!}+...$,所以有
$$\lim_{n \to 0} \frac{e^n-1}{n} \\ =\lim_{n \to 0} \frac{n+\frac{n^2}{2!}+\frac{n^3}{3!}+\frac{n^4}{4!}+...}{n} \\ =\lim_{n \to 0} 1+\frac{n}{2!}+\frac{n^2}{3!}+\frac{n^3}{4!}+...=1$$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x sin x}-1}{e^{x^2}-1}$

解答:
这是我认为比较难的题目,要根据结论(3)
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x sin x}-1}{e^{x^2}-1} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{(\frac{x sin x}{2+\frac{x sin x}{2+...}})}{e^{x^2}-1}$$
因为$\lim_{x \to 0} x sin x \to 0$,所以把后面的忽略,只考虑:
$$\lim_{x \to 0} \frac{x sin x}{(e^{x^2}-1)*2} \\ =\lim_{x \to 0} \frac{{sin x}/{x}}{{e^{x^2}-1}/{x^2}*2}$$
已知:$\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} \to 1,\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2}-1}{x^2} \to 1$,
所以
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x sin x}-1}{e^{x^2}-1} \to 1/2$$

陆续补充中,将会与大家探讨更多的内容。


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