向量在几何和物理中都有极其重要的作用,现在就让我们来看如何用向量研究物理中的圆周运动。

首先我们必须了解一些基础:

1.在向量中,只要一条“向径”($\stackrel{\to}{r}$)就可以描述出物体的运动,而不需要建立坐标系。这就是向量应用于物理的原因:物理定律不应该依赖于坐标系,而向量恰恰也不依赖于坐标系!
2.牛顿第二定律:$\stackrel{\to}{F}=m\stackrel{\to}{a}$
3.以及一些向量的微积分运算等(可以查阅维基百科或者相关资料)

在下面及以后的文章描述中,为了大家的阅读方便,把向量写成$\stackrel{\to}{r}$的形式,而非把字母加粗。一般情况下,在本站的描述中,有$|\stackrel{\to}{r}|=r,|\dot{\stackrel{\to}{r}}|=v,|\ddot{\stackrel{\to}{r}}|=a$。但是,$\dot{r}=\frac{d|\stackrel{\to}{r}|}{dt} != |\dot{\stackrel{\to}{r}}|$

圆周运动示意图.PNG

上图是一个简单的圆周运动示意图,其中我们得到:
$\stackrel{\to}{F}=m\stackrel{\to}{a}$
$\stackrel{\to}{a}=\ddot{\stackrel{\to}{r}}$
$\stackrel{\to}{v}=\dot{\stackrel{\to}{r}}$

其中$\stackrel{\to}{F}$是合外力,由于速度方向总是与向径方向垂直,我们就有
$\stackrel{\to}{r}\cdot \dot{\stackrel{\to}{r}}=0$————(1)
并且
$\frac{d}{dt}(\stackrel{\to}{r}\cdot \dot{\stackrel{\to}{r}})=\dot{\stackrel{\to}{r}}^2+\stackrel{\to}{r}\cdot \ddot{\stackrel{\to}{r}}=0$
得出
$m\dot{\stackrel{\to}{r}}^2+\stackrel{\to}{r}\cdot m\ddot{\stackrel{\to}{r}}=0$
$mv^2+\stackrel{\to}{r}\cdot \stackrel{\to}{F}=0$————(2)

其中$\stackrel{\to}{F}$是合外力(请记住,向心力由合外力提供,是合外力的一个分力,不能说物体受到向心力的作用),(1)和(2)结合起来,就是描述圆周运动的基本方程

如果该运动为匀速圆周运动,v恒定,则应该有$\dot{\stackrel{\to}{r}}^2=const$,即
$\frac{d}{dt}(\dot{\stackrel{\to}{r}}^2)=2\dot{\stackrel{\to}{r}}\cdot \ddot{\stackrel{\to}{r}}=0$
即$\dot{\stackrel{\to}{r}}\cdot \stackrel{\to}{F}=0$————(3)

即合外力方向与速度方向垂直,结合(2),有
$\stackrel{\to}{F}=-m(\frac{\dot{\stackrel{\to}{r}}^2}{r^2})\stackrel{\to}{r}=-m\omega^2 \stackrel{\to}{r}$
$F=\frac{mv^2}{r}$


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