证明下列级数发散或者收敛:
(1) $\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ...$
(2) $\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ...$

一眼看上去,由于$1/x,1/{x^2}$都会趋向零,所以它们应该是收敛的。真的是这样吗?

结果令人意料的:级数(1)发散,级数(2)收敛。

证明:

(1)

$1+1/2+1/3+1/4+1/5+...$
$=1+(1/2+...+1/{10})+(1/{11}+...+1/{100})+(1/{101}+...+1/{1000})+...$
$>1+1/{10}*9+1/{100}*90+1/{1000}*900+...$
$=1+9/{10}+9/{10}+9/{10}+...$

由于前面的可以无穷分组下去,因此就有无数个$9/{10}$累加,因此算式趋于无穷。
我们可以写出很多类似的证明,如维基百科就给出了一个大致相同的证明:http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B0%83%E5%92%8C%E7%BA%A7%E6%95%B0

(2)

$1+1/{2^2}+1/{3^2}+1/{4^2}+...$
$=1+(1/{2^2}+...+1/{10^2})+(1/{11^2}+...+1/{100^2})+(1/{101^2}+...+1/{1000^2})+...$
$<1+1/{2^2}*9+1/{11^2}*90+1/{101^2}*900+...$
$<1+1/{2^2}*9+1/{10^2}*90+1/{100^2}*900+...$
$=4.24999...->4.25$

由此可见,该式的值决不会超过4.25。

真相

事实上,级数(1)被称为“调和级数”,当项数趋于无穷的时候,它的值也趋于无穷。
$\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x} -> \infty$
级数(2)就更加神秘了,我们在证明过程中作了放大处理,事实上,精确地有:
$\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x^2} = {\pi^2}/{6}$
数学往往令人意外的,所有平方数的倒数之和竟然和$\pi$有关!


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