代数基本定理:任何一个一元复系数多项式都至少有一个复数根。也就是说,复数域是代数封闭的。

虽说这有其名,但却无其实,它并不是最基本的代数定理;因为在那个时候,代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程,所以才被命名为代数基本定理(Fundamental theorem of algebra)。

建立在此前提上,我们可以推出:

一元复系数n次代数方程在复数范围内都有n个根(有可能是共轨复根)。

其中用到了数学归纳法以及多项式的“除法”,证明如下:
已知一元一次方程有1个根,一元n次方程至少有1个根。假设(n-1)次方程有(n-1)个根,求证n次方程有n个根。

设函数$f(x)=a_0+a_1 x^1+...+a_n x^n$
我们求一下:$\frac{f(x)}{x-x_1}$,其中$x_1$是预先给定的常数。运算的过程可以类似于我们做数字的除法:
多项式除法计算过程.PNG

最终,我们的结果为:
$f(x)=a_0+a_1 x^1+...+a_n x^n$
$=(x-x_1)[a_n x^{n-1}+(a_{n-1}+a_n x_1)x^{n-2}+...+(a_1+a_2 x_1+...+a_n x_1^{n-1})]+a_0+a_1 x_1^1+...+a_n x_1^n$

令$x_1$是方程$a_0+a_1 x^1+...+a_n x^n=0$的一个根,于是
$a_0+a_1 x^1+...+a_n x^n$
$=(x-x_1)[a_n x^{n-1}+(a_{n-1}+a_n x_1)x^{n-2}+...+(a_1+a_2 x_1+...+a_n x_1^{n-1})]$

那么满足$a_n x^{n-1}+(a_{n-1}+a_n x_1)x^{n-2}+...+(a_1+a_2 x_1+...+a_n x_1^{n-1})=0$的解也是方程的$f(x)=0$的根,这方程有(n-1)个根,加上$x=x_1$,那么$f(x)=0$总共有n个根。

证毕。


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