椭圆面积和周长的求法,看上去没有什么区别。不过实际上它们的难度有着天壤之别。

椭圆所包围的面积是$S=\pi ab$,这里的a和b是半长轴和半短轴。仅根据椭圆标准方程就可以推导出来。

目前还没有找到椭圆周长的一般公式,要想精确求解,只有代入以下无穷级数:
$C=2\pi a [1 - (1/2)^2 (\frac{c}{a})^2 - ({1*3}/{2*4})^2{c^4}/{3a^4} - ({1*3*5}/{2*4*6})^2{c^6}/{5a^6}-...]$
可以写成:
$C = 2\pi a \sum_{n=0}^{\infty} { - [\prod_{m=1}^n ({2m-1}/{2m})]^2 {c^{2n}}/{a^{2n}(2n - 1)}}$

距离c 叫做椭圆的线性离心率,等于从中心到任一焦点的距离

当然如果你不懂这些,也不用太沮丧,因为数学家拉马努金给出了一条比较简单、而且精确度比较高的近似公式:
$C \approx \pi [3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}]$

还有一条近似很高的公式(据说用来计算行星轨道也没有问题):
$C=\pi (a+b)[1+\frac{3*({a-b}/{a+b})^2}{10+\sqrt{4-3({a-b}/{a+b})^2}}]*[1+({22}/{7\pi} -1)({a-b}/a)^33.697]$

下面是椭圆周长的一些参考值:

a——b————椭圆值
100—000——400.00000000
100—001——400.10983297
100—010——406.39741801
100—025——428.92108875
100—050——484.42241100
100—075——552.58730400
100—090——597.31604325
100—099——625.18088479
100—100——628.31853070

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