黎曼度量

几何,英文名是Geometry,原意是大地测量。既然是测量,就必须有参考物,还有得知道如何计算距离。

有了参照物,我们就可以建立坐标系,把每个点的坐标都写下来,至于计算距离,我们有伟大的勾股定理:
$$ds^2 = dx^2 + dy^2 \tag{1} $$
但这里我们忽略了两个问题。

第一个问题是,我们不一定使用直角坐标系,如果使用极坐标,那么应该是
$$ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 \tag{2} $$
因此可以联想,最一般的形式应该是
$$ds^2 = E(x^1, x^2)(dx^1)^2 + 2F(x^1, x^2)dx^1 dx^2 + G(x^1, x^2)(dx^2)^2 \tag{3} $$
这里的$x^1,x^2$是广义坐标,使用上标而不是下标来标记序号,是为了跟传统的教材记号一致。那这公式是什么意思呢?其实很简单,正如我们没理由要求全世界都使用人民币一样,我们没必要要求世界各地都使用同一个坐标系,而更合理的做法是,每一处地方都使用自己的坐标系(局部坐标系),然后给出当地计算距离的方法。因此,上述公式正是说,在位置$(x^1, x^2)$处计算向量$(dx^1, dx^2)$的长度的公式(当地的勾股定理)是$ds^2 = E(x^1, x^2)(dx^1)^2 + 2F(x_1, x_2)dx^1 dx^2 + G(x^1, x^2)(dx^2)^2$。

第二个问题是,我们当然不只是研究2维平面,我们还要研究$n$维的空间,因此,最一般的公式是
$$ds^2 = g_{\mu\nu}(\boldsymbol{x}) dx^{\mu} dx^{\nu} \tag{4} $$
这里的$\boldsymbol{x}=(x^1,x^2,\dots,x^n)$,并且使用了爱因斯坦求和约定,即单项式中相同的上下标意味着求和。$g_{\mu\nu}$就是我们所说的黎曼度量,我们可以选择对称的度量,即$g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}$,并且不改变$ds^2$的形式,而整个$ds^2$,根据我们前面的讨论,就是高维空间中不同位置所使用的不同的计算距离的方式而已。这里,我们恢复了几何的测量意义。

另一方面,黎曼度量也可以看成是一种测量的标准。好比各个国家有各自的货币,不尽相同,但如果有一个公式,可以把任意一个国家的货币换算为等价的黄金数量,那么就可以解决不同货币数目的比较问题。黎曼度量有着类似的作用,与其说它给出了不同位置的不同计算距离的方式,倒不如说它统一了各个位置计算距离的方式。

顺便需要说明的是,从只是定义距离的角度来看,我们其实不一定要使用二次型,比如使用3次型、4次型甚至更复杂的形式都可以,但是就实用价值而言,我们只研究二次型的。但即便如此,已经有我们研究不完的问题了。

一些例子

什么情况下会产生(或许说需要)非常数的黎曼度量呢?前面已经看到,将直角坐标变换为极坐标,就会出现非常数的黎曼度量,也就是说,哪怕在平直空间中,只要使用曲线坐标系,就会出现非常数的黎曼度量。

球面上的蚂蚁.svg

此外,弯曲空间的黎曼度量一定是非常数的。有没有一些具体的例子呢?最经典的应该是二维球面了(是二维球面,不是三维球坐标,读者不要弄混了),选定半径为1,那么球面坐标是
$$\left\{\begin{aligned}&x=\sin\theta\cos\varphi\\
&y=\sin\theta\sin\varphi\\
&z=\cos\theta\end{aligned}\right. \tag{5} $$
那么它的黎曼度量就是
$$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2=d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2 \tag{6} $$

等温面上的蚂蚁.svg另外一个很生动的例子是从《费曼物理学讲义》第二卷中学习到的,假设我们在一个平直的空间中,但空间的温度各处不同。我们用一把热膨胀系数很大的尺子作为我们的测量工具,那么会出现什么结果呢?在温度高的地方,尺子膨胀,那么测量的结果会变小;相反,在温度低的地方,尺子缩小,测量结果会变大。同样的距离,在温度高的地方,可能测量结果是50cm,在温度低的地方,测量的结果是100cm,因此需要一个非常数的度规将它们统一起来——要不就是50乘以2,要不就是100除以2,或者50乘以4、同时100乘以2,等等。不难想到,这时候黎曼度量应该具有的形式是(可以考虑二维的、三维的)
$$ds^2 = f(x,y,z)(dx^2+dy^2+dz^2) \tag{7} $$

这就导致了一个弯曲空间的出现——这时候不是空间“弯曲”了,而是尺子“弯曲”了。这个例子也出现在《费曼引力学讲义》中,据费曼所述,它是Robertson的一个学生发明的。由于明显的物理意义,它也被称为“等温参数”或者“等温坐标系”。事实上,这跟“运动是相对的”有点类似,一个弯曲空间的出现,可能是因为空间本身的弯曲(就像球面那样),也可能是尺子的“弯曲”(就像热膨胀的尺子),但它们的数学结果是一样的。

局部直角坐标系

现在我们尝试用矩阵形式来描述黎曼度量。记$\boldsymbol{g}=g_{\mu\nu}, \boldsymbol{x}=x^{\alpha}, d\boldsymbol{x}=dx^\alpha$,这里向量为列向量,并且我们对向量的分量与向量本身不作区分。因此,黎曼度量可以写为
$$ds^2 = d\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{g}d\boldsymbol{x} \tag{8} $$

注意到矩阵$\boldsymbol{g}$是对称的,因此一般情况下,可以分解为$\boldsymbol{h}^T \boldsymbol{h}$,$\boldsymbol{h}$是与$\boldsymbol{g}$同阶的矩阵,这时候
$$ds^2 = d\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{h}^T \boldsymbol{h} d\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{h}d\boldsymbol{x}\right)^T\left(\boldsymbol{h}d\boldsymbol{x}\right)=\left|\boldsymbol{h}d\boldsymbol{x}\right|^2 \tag{9} $$
也就是说,最后转化为$\boldsymbol{h}d\boldsymbol{x}$的模长,而这个模长跟平直空间的勾股定理是一致的。我们可以认为,矩阵$\boldsymbol{h}$正好描述了当地的坐标系,在坐标系$\boldsymbol{h}$下的向量$d\boldsymbol{x}$,正是等价于当地的局部直角坐标系的向量$\boldsymbol{h}d\boldsymbol{x}$。或者说,$\boldsymbol{h}$就是从当地坐标系到局部直角坐标系的变换矩阵(雅可比矩阵)。

有了到直角坐标系的变换,我们能够定义很多几何量,这些几何量都是从平直空间延伸过来的。比如给定向量$\boldsymbol{A}=A^{\mu}$,它的模长平方就是
$$|\boldsymbol{h}\boldsymbol{A}|^2 = \boldsymbol{A}^T \boldsymbol{h}^T\boldsymbol{h}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{g}\boldsymbol{A}=g_{\mu\nu}A^{\mu}A^{\nu} \tag{10} $$

给定两个向量$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$,那么它们的内积就是
$$\left(\boldsymbol{h}\boldsymbol{A}\right)^T \left(\boldsymbol{h}\boldsymbol{B}\right)= \boldsymbol{A}^T \boldsymbol{h}^T\boldsymbol{h}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{g}\boldsymbol{B}=g_{\mu\nu}A^{\mu}B^{\nu} \tag{11} $$
如果你愿意,还可以定义它们的夹角$\theta$为:
$$\theta=\arccos \frac{g_{\mu\nu}A^{\mu}B^{\nu}}{\sqrt{g_{\mu\nu}A^{\mu}A^{\nu}}\sqrt{g_{\mu\nu}B^{\mu}B^{\nu}}} \tag{12} $$

同时,还可以算两个向量$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$张成的平行四边形的面积:
$$\left|\boldsymbol{h}\boldsymbol{A}\right| \times \left|\boldsymbol{h}\boldsymbol{B}\right|\times \sin\theta = \sqrt{(g_{\mu\nu}A^{\mu}A^{\nu})(g_{\mu\nu}B^{\mu}B^{\nu})-(g_{\mu\nu}A^{\mu}B^{\nu})^2} \tag{13} $$

如果要算(超)体积分,那么体积元是
$$\det(\boldsymbol{h})\prod_{\alpha} dx^{\alpha} = \sqrt{\det(\boldsymbol{g})} \prod_{\alpha} dx^{\alpha} = \sqrt{g}d\Omega \tag{14} $$
这里$g$是$\det(\boldsymbol{g})$的简记,$d\Omega$是$\prod_{\alpha} dx^{\alpha}$的简记,注意我们有$\det(\boldsymbol{g})=det(\boldsymbol{h}^T \boldsymbol{h})=(\det(\boldsymbol{h}))^2$。$\sqrt{g}$实际上就是一个体积的缩放因子。有了这个结果,我们就可以写出:给定$n$个向量$\boldsymbol{A}^1,\boldsymbol{A}^2,\dots,\boldsymbol{A}^n$,把它们写成列向量的形式,那么它们所张成的平行$n$维体的超体积是
$$\sqrt{g}\det(\boldsymbol{A}^1,\boldsymbol{A}^2,\dots,\boldsymbol{A}^n)\tag{15}$$
这里$(\boldsymbol{A}^1,\boldsymbol{A}^2,\dots,\boldsymbol{A}^n)$是指将这$n$个列向量排成一个$n\times n$的矩阵。


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