本文主要做了一个尝试,尝试不通过Green公式而实现将封闭曲线的面积与线积分相互转换。这种转换的思路,因为仅仅利用了二重积分的积分变换,较为容易理解,而且易于推广。至于这种技巧是否真正具有实际价值,还请读者评论。

假设平面上一条简单封闭曲线由以下参数方程给出:
\begin{equation}\left\{\begin{aligned}x = f(t)\\y = g(t)\end{aligned}\right.\end{equation}
其中参数$t$位于某个区间$[a,b]$上,即$f(a)=f(b),g(a)=g(b)$。现在的问题是,求该封闭曲线围成的区域的面积。

Green公式

通常的解决思路是使用Green公式:
\begin{equation}\iint\limits_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy = \oint\limits_{\partial D} Pdx+Qdy \end{equation}
它告诉我们面积分和线积分可以相互转化。当$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}=1$时,左边就是求区域内的面积。满足这样的$P,Q$有很多,如$Q=x,P=0$,那么
\begin{equation}\label{eq:xdy}\iint\limits_D dxdy = \oint\limits_{\partial D} xdy=\int_a^b f(t)g'(t)dt\end{equation}
由此可见,换用不同的$P,Q$,可以构造出各种各样的计算面积的公式,其中,在很多情形会相对方便一些的公式是
\begin{equation}\label{eq:xdy-ydx}\iint\limits_D dxdy = \frac{1}{2}\oint\limits_{\partial D} -ydx+xdy=\frac{1}{2}\int_a^b [f(t)g'(t)-g(t)f'(t)]dt\end{equation}
因为它对于过原点的直线的积分自动为0。

新技巧:行列式变换

上述利用Green公式的确方便实用,令人惊叹。然而对我来说,会有一些美中不足之处:

1、基础是Green公式,然而格林公式在一般人眼中会觉得是比较高端的内容,对于笔者也是如此;

2、如何推广到其他坐标系(如极坐标)?甚至是其他的二位曲面坐标系(如球面上的几何)?格林公式似乎不能很好地做到这一点,当然,可以考虑微分几何中的Stokes公式,但这又是更加深入的内容了。

事实上,笔者一直在构思不利用Green公式的、更自然的做法。算是“功夫不负有心人”,笔者找到了让自己还算满意的、比利用Green公式更加自然的思路,在此与大家分享。

何为更加“自然”?笔者的思路是直接通过积分变换来给出结果的。求面积,本质上就是一个二重积分,二重积分不能直接求出来,就考虑变换坐标系,这思路够显然了吧?好,进入正题,不失一般性,假设原点位于这条封闭曲线内,并且这条曲线能够等比例地、径直地、不重叠地“收缩”到原点,用数学表示出来,就是说该区域可以用以下参数方程来表示:
\begin{equation}\label{eq:x-y-t}\left\{\begin{aligned}x = sf(t)\\y = sg(t)\end{aligned}\right. ,\,t\in[a,b],s\in[0,1]\end{equation}
这样我们就可以用$s,t$作为新坐标求积分,雅可比行列式是(有可能需要取绝对值,这里是特殊情况):
\begin{equation}J=\begin{vmatrix}\frac{\partial[sf(t)]}{\partial s} & \frac{\partial[sf(t)]}{\partial t}\\
\frac{\partial[sg(t)]}{\partial s} & \frac{\partial[sg(t)]}{\partial t}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}f(t) & sf'(t)\\
g(t) & sg'(t)\end{vmatrix}=s[f(t)g'(t)-g(t)f'(t)]\end{equation}
所以
\begin{equation}\begin{aligned}\iint\limits_D dxdy = &\int_a^b \int_0^1 s[f(t)g'(t)-g(t)f'(t)]dsdt \\
= &\frac{1}{2}\int_a^b [f(t)g'(t)-g(t)f'(t)]dt\end{aligned}\end{equation}
再次得到了公式$\eqref{eq:xdy-ydx}$!

上述是怎样的一个过程呢?我们发现,我们是从中假设了封闭曲线能够以某种方式不重叠地“收缩”到原点,从而变换坐标系。换不同的收缩方式,就可以得到不同的面积公式,如
\begin{equation}\left\{\begin{aligned}x = sf(t)\\y = g(t)\end{aligned}\right. ,\,t\in[a,b],s\in[0,1]\end{equation}
表示曲线能够不重叠地压缩到$y$轴上,这样我们通过积分变换得到雅可比行列式为$J=f(t)g'(t)$,从而
\begin{equation}\begin{aligned}\iint\limits_D dxdy = &\int_a^b \int_0^1 f(t)g'(t)dsdt \\
= &\int_a^b f(t)g'(t)dt
\end{aligned}\end{equation}
我们再次得到了公式$\eqref{eq:xdy}$!

换言之,每一条公式也对应着一种收缩的方式。当然,从Green公式可以得出,这些公式都是等价的。但是我们不借助格林公式的话,那么这些公式并非都是等价的,而是各有各的用途,因为,并非所有的封闭曲线都可以用同一种收缩方式不重叠地收缩到原点。至于更一般化的曲线,如原点不在曲线内,可以通过分段或者平移的方式处理,最终的结果仍然不变——换言之,图形的面积跟图形位于哪里无关。

极坐标

从上面的讨论中可以看出,新技巧得到的结果,好像都没有用Green公式得来的多,干嘛还要煞费苦心去钻研这样一套方法呢?其中原因之一是,上述坐标变换的方法,可以比较容易推广到其他坐标系中去,而直接通过Green公式则不是特别方便。

我们来考虑极坐标,假设通过极坐标的参数方程
\begin{equation}\left\{\begin{aligned}r = f(t)\\\theta = g(t)\end{aligned}\right.\end{equation}
描述了一条简单封闭曲线,求曲线内的面积。

自然,可以考虑曲线如何收缩到原点。还是不失一般性,假设原点位于封闭曲线内,并且还是假设这条曲线能够等比例地、径直地、不重叠地“收缩”到原点,这时候用数学公式来描述,就是下面参数方程描述了该区域:
\begin{equation}\label{eq:r-s-t}\left\{\begin{aligned}&r = sf(t)\\ &\theta = g(t)\end{aligned}\right. ,\,t\in[a,b],s\in[0,1]\end{equation}
对比$\eqref{eq:x-y-t}$式,就可以发现普通的直角坐标跟极坐标的差别。

$\eqref{eq:r-s-t}$式的雅可比行列式是$J=f(t)g'(t)$,从而区域面积是:
\begin{equation}\label{eq:r2ds}\begin{aligned}\iint\limits_{D}rdrd\theta=&\int_a^b\int_0^1 sf(t)\cdot f(t)g'(t)dsdt\\
=&\frac{1}{2}\int_a^b f^2 (t)g'(t)dt\\
=&\frac{1}{2}\oint\limits_{\partial D}r^2 d\theta\end{aligned}\end{equation}
$\eqref{eq:r2ds}$式的最后,就是将极坐标下的封闭曲线内的面积转化为极坐标下的线积分,跟公式$\eqref{eq:xdy}$或$\eqref{eq:xdy-ydx}$是一样的。对于不能以此方式收缩的曲线,可以对它进行分段处理,最终的结果仍然是$\eqref{eq:r2ds}$式。

看起来,$\eqref{eq:r2ds}$式的结果是平凡的,因为直接对$\iint\limits_{D}rdrd\theta$的$dr$先积分,也得到差不多的结果。但是要注意,最后的$\frac{1}{2}\oint\limits_{\partial D}r^2 d\theta$是一个线积分,对任意曲线都奏效,而直接对$\iint\limits_{D}rdrd\theta$的$dr$先积分的可行性跟曲线的形状有关。

球面坐标

最后,我们以球面坐标下的情形结束本文。球面是一个二维曲面的例子,在球面上,可以通过$\varphi,\theta$两个参数来确定一条球面上封闭曲线:
\begin{equation}\left\{\begin{aligned}\varphi = f(t)\\ \theta = g(t)\end{aligned}\right.\end{equation}
这里的$\varphi,\theta$,对应三维的球坐标变换:
\begin{equation}\left\{\begin{aligned}&x = r\sin\varphi\cos\theta\\
&y = r\sin\varphi\sin\theta\\
&z = r\cos\varphi
\end{aligned}\right.\end{equation}
仿照$\eqref{eq:r-s-t}$式,可以得到如下收缩方式(在球面坐标中,$\varphi$的作用跟极坐标的$r$是类似的):
\begin{equation}\label{eq:t-v-t}\left\{\begin{aligned}&\varphi = sf(t)\\ &\theta = g(t)\end{aligned}\right. ,\,t\in[a,b],s\in[0,1]\end{equation}
从而
\begin{equation}\label{eq:sinds}\begin{aligned}\iint\limits_{D}\sin \varphi d\varphi d\theta=&\int_a^b\int_0^1 \sin[sf(t)]\cdot f(t)g'(t)dsdt\\
=&-\int_a^b \left.\cos[sf(t)]\right|_0^1 \cdot g'(t)dt\\
=&\int_a^b [1 - \cos f(t)] \cdot g'(t)dt\\
=&\oint\limits_{\partial D} (1 - \cos \varphi) d\theta\end{aligned}\end{equation}


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