数学分析中数列极限部分,有一个很基本的“柯西命题”:

如果$\lim_{n\to\infty} x_n=a$,则
$$\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=a$$

本文所要谈的便是这个命题,当然还包括类似的一些题目。

柯西命题的证明

柯西命题的证明并不难,只需要根据极限收敛的定义,由于$\lim_{n\to\infty} x_n=a$,所以任意给定$\varepsilon > 0$,存在足够大的$N$,使得对于任意的$n > N$,都有
$$\left|x_n - a\right| < \varepsilon/2\quad(\forall n > N)$$

那么,对于足够大的$n$,就有
$$\begin{aligned}&\left|\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}-a\right|\\
=&\left|\frac{(x_1-a)+(x_2-a)+\dots+(x_n-a)}{n}\right|\\
\leq &\left|\frac{(x_1-a)+(x_2-a)+\dots+(x_N-a)}{n}\right|\\
&\quad+\left|\frac{(x_{N+1}-a)}{n}\right|+\left|\frac{(x_{N+2}-a)}{n}\right|+\dots+\left|\frac{(x_{n}-a)}{n}\right|\\
< & \left|\frac{(x_1-a)+(x_2-a)+\dots+(x_N-a)}{n}\right|+\frac{n-N}{n}\frac{\varepsilon}{2}\\
< & \left|\frac{(x_1-a)+(x_2-a)+\dots+(x_N-a)}{n}\right|+\frac{\varepsilon}{2}\\
\end{aligned}$$
取足够大的$M > N >0$,只要$n > M$,就有
$$\left|\frac{(x_1-a)+(x_2-a)+\dots+(x_N-a)}{n}\right| < \frac{\varepsilon}{2}$$
从而
$$\left|\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}-a\right| < \varepsilon$$
由$\varepsilon$的任意性知
$$\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=a$$

其实柯西命题的直观意义也很明显,它只不过告诉我们,如果一个数列是收敛的,那么它是越来越平缓的,取平均的话,就算一开始起伏很大,也可以用足够大的$n$来抹平它。

一个变形

下面请读者来做一下这道题目。

已知$\lim_{n\to\infty} x_n=a$,求证
$$\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+2 x_2+\dots+n x_n}{n^2}=\frac{1}{2}a$$

请读者别那么着急动笔,盯着它,死盯着它,直到题目害怕你了而把自己把答案交出来!!

========华丽的分割线========

事实上,有了柯西命题,这道题目根本就不用证,它就是显然成立的!为什么?我们干嘛要去考虑数列$\{x_n\}$呢,我们为什么不考虑下面的数列呢?
$$\{y_n\}={x_1, x_2, x_2, x_3, x_3, x_3, x_4, x_4, x_4, x_4, x_5,\dots}$$
显然也有
$$\lim_{n\to\infty} y_n =a$$
而且
$$\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k a_k=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{\frac{1}{2}n(n+1)} y_n=\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n^2}\frac{\sum_{k=1}^{\frac{1}{2}n(n+1)}y_n}{\frac{1}{2}n(n+1)}$$
由柯西命题立马知道最右边求和项的极限为$a$,而$\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n^2}$的极限显然为$\frac{1}{2}$,所以
$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k a_k=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{\frac{1}{2}n(n+1)} y_n=\frac{1}{2}a$$
所以说,凡事换个角度看看,就可能看到意想不到的东西,有时候只要一直盯着它,就觉得显然成立了。我想,能够从不同角度认识同一个问题,才算是把问题看透吧。


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