实变函数中有一个勒贝格控制收敛定理,一般认为它是判断积分和取极限可交换的很好用的方法。勒贝格控制收敛定理是说,如果定义在集合$E$上的函数列$\left\{f_n(x)\right\}$满足$|f_n(x)|\leq F(x)$,而$F(x)$在$E$上可积,那么积分和取极限就可以交换,即
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_E f_n (x)dx\right)=\int_E \left(\lim_{n\to\infty}f_n (x)\right)dx$$
本文不打算谈该定理的证明,只是谈谈该定理的应用相关的话题。首先,请有兴趣的读者,做做以下题目:
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_0^1 \frac{n^2 x}{1+n^4 x^4}dx\right)$$
前两天我把题目发在QQ上面,以及问了问我身边的同学,回应的人比较少,但还是有几位朋友尝试了一下,得到的结果是:学了实变的同学基本上不会做这道题,没学实变、只学了基本的微积分的同学,基本上都做出来了。

这道题的做法很简单,直接把积分求出来,得到$\frac{1}{2}\arctan(n)$,然后取极限得到$\frac{\pi}{4}$。如果学了实变的同学,拼命去想控制函数,那么必然碰了一鼻子灰。任何想要交换极限和积分的尝试都是失败的,因为这个积分和取极限不可交换!因此我们是否要反思一下,为什么多学了实变的朋友(尤其是刚学的),反而做不出来?因为他们就只想着控制收敛定理(或者其他相关的定理),就不会尝试最原始的方法——把算出来。学多了东西,但又太拘泥于形式,拘泥于教科书,这岂不是多学无益?

由这个控制收敛定理引伸出来的,还有一个话题,那就是控制函数究竟好不好找(当然,这个问题是在控制函数存在的前提下讨论的)。首先,就一般的函数而言,控制函数肯定是相当难找的。但是,就我们书本或者考试上遇到的题目,如果都觉得控制函数难找,那么我觉得最有可能是学艺不精。我们上实变时,老师说过控制函数难找,但是他举的例子都太弱,根本就不能说明这一点。如果有同学听了老师这句话,就把这句话传播出来了,我觉得就不大好了。下面是一个是老师认为比较难找控制函数的例子(需要猜测,然后分段证明),而事实上这类情况都可以用直接统一的方法得到控制函数。
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_0^1 \frac{n^3 x}{1+n^4 x^2}dx\right)$$

书本上是用分段讨论的,事实上,只需要利用算术-几何平均不等式,就可以找出构造函数:
$$\begin{aligned}1+n^4 x^2&=1+\frac{1}{3}n^4 x^2+\frac{1}{3}n^4 x^2+\frac{1}{3}n^4 x^2\\
&\geq 4\sqrt[4]{1\times\frac{1}{3}n^4 x^2\times\frac{1}{3}n^4 x^2\times\frac{1}{3}n^4 x^2}\\
&=4\sqrt[4]{\frac{1}{27}}n^3 x^{3/2}\geq n^3 x^{3/2}\end{aligned}$$
所以
$$\frac{n^3 x}{1+n^4 x^2}\leq \frac{n^3 x}{n^3 x^{3/2}} = x^{-1/2}$$
而$x^{-1/2}$在$(0,1)$上可积。从而找到控制函数了。

该方法就是把分母拆分,然后可以用算术-几何平均不等式做成我们想要的形式了。至于怎么拆,为什么要这样拆,其实很容易发现规律,读者应该自己去发现它。而在我们遇到的一些练习题中,比较“难”的,都属于这个类型的,都可以用统一的方法处理。而如果是文章开始的题目
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_0^1 \frac{n^2 x}{1+n^4 x^4}dx\right)$$
用算术-几何平均不等式的技巧,是无法成功的。也就是说,好像这类题目,无法用均值不等式做出来,就等价于找不到控制函数?(指的是分母是多项式这个类型的~)这当然是无法普遍成立的,但好像有很微妙的关系,需要读者自己感悟了。

读者不妨利用同样的技巧,尝试一下
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_0^1 \frac{(n x)^s}{1+(nx)^{s+1}}dx\right),\quad s > 0$$

总的来说,本文就是想指出:将学到的东西融汇贯通,形成自己的理解方式,才算是真正学到了东西。不然拘泥于形式、拘泥于老师,那就真的应了那句本不该成立的话:多学无益。


转载到请包括本文地址:http://kexue.fm/archives/3194/

如果您觉得本文还不错,欢迎点击下面的按钮对博主进行打赏。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!