Ramanujan.jpg在正式开始数学之前,我们不妨先说一个关于印度著名数学天才——拉马努金的轶事。拉马努金病重,哈代前往探望。哈代说:“我乘出租车来,车牌号码是1729,这数真没趣,希望不是不祥之兆。”拉马努金答道:“不,那是个有趣得很的数。可以用两个立方之和来表达而且有两种表达方式的数之中,1729是最小的。”(即$1729 = 1^3+12^3 = 9^3+10^3$,后来这类数称为的士数。)利特尔伍德回应这宗轶闻说:“每个整数都是拉马努金的朋友。”(来自维基百科

从这则轶事中,我们发现,确实存在的某些整数,可以表示为两种不同的立方和,换句话说,不定方程:
$$x^3+y^3=z^3+w^3$$
存在$(x,y,z,w)$两两不等的整数解(正负均可)。借助艾森斯坦整数,我们可以求出通解的表达式来。这里得出的通解,比教科书上现有的通解更为复杂,但是能够由整数参数得到所有的整数解。(存在简化版的公式,也能够得到所有的整数解,但是为了得到某些整数解,需要一个分数形式的参数,这对于如何产生所有整数解会存在疑问。)

首先将两端分别在艾森斯坦整数内分解
$$(x+y)(x+y\omega)(x+y\omega^2)=(z+w)(z+w\omega)(z+w\omega^2)$$
将$x+y\omega$记为$\xi$,将$z+w\omega$记为$\eta$,我们得到
$$\xi\bar{\xi}\left(\omega\xi+\omega^2\bar{\xi}\right)=\eta\bar{\eta}\left(\omega\eta+\omega^2\bar{\eta}\right)$$
稍加分析就知道,$\xi$在艾森斯坦整数环中一定是个合数,不妨设
$$\xi=\alpha\beta$$
那么上式左端变为
$$\alpha\beta\bar{\alpha}\bar{\beta}\left(\omega\alpha\beta+\omega^2\bar{\alpha}\bar{\beta}\right)$$
要注意括号里边的数一定是个实数,因此一般地,可以设($\lambda$是个实数)
$$\omega\alpha\beta+\omega^2\bar{\alpha}\bar{\beta}=\lambda\gamma\bar{\gamma}$$
那么等式左边就是
$$\alpha\beta\bar{\alpha}\bar{\beta}\left(\lambda\gamma\bar{\gamma}\right)$$
根据右边的特征,它也应该是跟左边类似,因此右边各数只能是左边各因数的一个重排,不失一般性,一个重排为:
$$\alpha\gamma\bar{\alpha}\bar{\gamma}\left(\lambda\beta\bar{\beta}\right)$$
也就是说
$$\left\{\begin{aligned}&\eta=\alpha\gamma\\
&\bar{\eta}=\bar{\alpha}\bar{\gamma}\\
&\omega\eta+\omega^2\bar{\eta}=\lambda\beta\bar{\beta}\end{aligned}\right.$$
结合已知的
$$\left\{\begin{aligned}&\xi=\alpha\beta\\
&\bar{\xi}=\bar{\alpha}\bar{\beta}\\
&\omega\xi+\omega^2\bar{\xi}=\lambda\gamma\bar{\gamma}\end{aligned}\right.$$
留意到有
$$\left\{\begin{aligned}&\omega\alpha\gamma+\omega^2\bar{\alpha}\bar{\gamma}=\lambda\beta\bar{\beta}\\
&\omega\alpha\beta+\omega^2\bar{\alpha}\bar{\beta}=\lambda\gamma\bar{\gamma}\end{aligned}\right.$$
关键的一步来了,我们要倒过来,把它们看成是关于$\alpha,\bar{\alpha}$的方程组,那只不过是二元一次线性方程组!解出来得到
$$\alpha=\lambda\omega^2\frac{\beta\bar{\beta}^2-\gamma\bar{\gamma}^2}{\gamma\bar{\beta}-\beta\bar{\gamma}}$$

如此一来,我们便完成了解的构造:给定参数$\lambda,\beta,\gamma$,就可以算出$\alpha$,然后根据
$$\xi=\alpha\beta,\quad\eta=\alpha\gamma$$
可以求出$\xi,\eta$,继而求出$x,y,z,w$。细心的读者会留意到:$\lambda$是个实数,$\beta,\gamma$是艾森斯坦整数,从实数来看,它们两个都带有两个自由参数,因此我们得到的是五个自由参数的解!未知数只有四个,参数却有五个,原则上来说参数存在冗余。但是为了从整数参数中得到所有整数解,却又不得不这样子取,实在奇妙。

设$\beta=a+b\omega,\,\gamma=c+d\omega$,借助Mathematica可以导出($\lambda$属于平凡参数,遂没写出)
$$\left\{\begin{aligned}x&=\frac{a^3 (c+d)-3 a^2 b c+3 a b^2 c+b^3 (d-2 c)-(c^2-c d+d^2)^2}{3 b c-3 a d}\\[2ex]
y&=\frac{a^3 (c-2 d)+3 a^2 b d-3 a b^2 d+b^3 (c+d)-(c^2-c d+d^2)^2}{3 a d-3 b c}\\[2ex]
z&=\frac{a^4-2 a^3 b+3 a^2 b^2-a (2 b^3+c^3+d^3)+b (b^3+2 c^3-3 c^2 d+3 c d^2-d^3)}{3 a d-3 b c}\\[2ex]
w&=\frac{-a^4+2 a^3 b-3 a^2 b^2+a (2 b^3+c^3-3 c^2 d+3 c d^2-2 d^3)+b (-b^3+c^3+d^3)}{3 a d-3 b c}
\end{aligned}\right.$$
一个复杂的参数解~~

其中$a=?1,b=?2,c=3,d=3$时,给出$x=9,y=?12,z=1,w=?10$,也就是$1^3+12^3=9^3+10^3$,这是最小的整数解。

也许有兴趣的读者会想试试$x^4+y^4=z^4+w^4$的解。的确,这道方程也存在两两不等的整数解,然而,它远比三次方的困难,到目前为止,我们甚至都不知道它任意一个形式的通解。


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