我们这学期开设《实变函数》的课程,实变函数的第一章是集合。关于无穷集合的势,有很多异于直觉的结论。这些结论的证明技巧,正是集合论的核心方法。然而,我发现虽然很多结论跟我们的直觉相违背,但是仔细回想,它又没我们想象中那样“离谱”。而我们目前使用的教科书《实变函数论与泛函分析》(曹广福),却没有使用看来简单的证明,反而用一些相对复杂的定理,给人故弄玄虚的感觉。

一、全体实数不能跟全体正整数一一对应

这是集合论中的基本结论之一。证明很简单,如果全体实数可以跟全体正整数一一对应,那么$(0,1)$上的实数就可以跟全体正整数一一对应,把$(0,1)$上的全体实数表示为没有0做循环节的无限小数(比如0.1表示为0.0999...),那么设一种对应为:
$$\begin{aligned}&a_1=0.a_{11} a_{12} a_{13} a_{14}\dots\\
&a_2=0.a_{21} a_{22} a_{23} a_{24}\dots\\
&a_3=0.a_{31} a_{32} a_{33} a_{34}\dots\\
&\dots\dots
\end{aligned}$$
其中$a_{ij}$为0,1,2,...,9中的任意一个,表示$a_{i}$的第$j$位小数。现在构造一个数字
$$b=0.b_1 b_2 b_3 b_4\dots$$
其中$b_i=1$,如果$a_{ii}\neq 1$;$b_{i}=0$,如果$a_{ii} =1$。由$b$的构造方式可知,$b$不在$\{a_n\}$之中,这与假设矛盾。

以上的证明技巧被称为“对角线技巧”,是一种极其初等易懂的技巧,我记得我在初中的时候就能够看懂这个证明(虽然那时候还没有集合的明确概念)。可不知道为什么,我们的教科书却使用了区间套定理这种高大上的证明,难道是因为学过难懂的东西,就要使用难懂的证明?只有这样才显得我们学的数学“很高等”?我就不信我初中就可以看懂区间套定理了。

二、可数个连续统集合的并仍然是连续统

连续统集合就是势等于实数集的势的集合,实数集的势一般记为$C$。这个命题的证明非常容易,甚至就是显然成立的,却不知道为什么我们的教科书用上了一大堆让人讨厌的符号。

我们知道$[0,1)$上的实数集的势为$C$,$[1,2)$上的实数集的势为$C$,$[2,3)$上的实数集的势为$C$,...,这样一来
$$[0,1)\cup [1,2)\cup[2,3)\cup\dots=[0,\infty)$$
就是全体非负实数的集合,难道它的势不是$C$吗?

三、可数个可数集的并仍然可数

这个跟上面的证明是类似的。我们知道$[0,1)$上的有理数集可数,$[1,2)$上的有理数集可数,$[2,3)$上的有理数集可数,...,这样一来
$$[0,1)\cup [1,2)\cup[2,3)\cup\dots=[0,\infty)$$
就是全体非负有理数的集合,自然是可数的。

四、$\mathbb{R}^{\infty}$仍然是连续统

这里的$\infty$表示一个可数无穷大。这表明实数序列的集合$\{x_1 x_2 x_3 \dots\}$仍然跟实数本身一一对应,其中$x_i$是$(0,1)$的任意实数。这里的证明不一定是简单的,但是值得一提。

证明并不是十分困难,只要构造
$$\{x_1 x_2 x_3 \dots\}\mapsto (0,1)$$
的一个单射即可。我们只需要把元素$x_1 x_2 x_3\dots$映射到$y\in (0,1)$,$y$的构造如下(记$S_i (x)$为$x$的第$i$位小数):
$$S_{(2^i+2^{i+1} j)} (y)=S_{j+1} (x_{i+1}),\quad i,j=0,1,2,\dots$$
看起来很玄,不知道怎么构造出来的?只需要写写前面几项,读者必然能够恍然大悟了~~这也是一种相当有用的集合证明的技巧。


转载到请包括本文地址:http://kexue.fm/archives/2964/

如果您觉得本文还不错,欢迎点击下面的按钮对博主进行打赏。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!