费马大定理,也叫做费马最后定理(Fermat Last Theorem),说的是

设$n$是大于2的正整数,则不定方程$x^n+y^n=z^n$没有全不为0的整数解。

Pierre_de_Fermat.jpg稍微阅读过数学史的朋友应该知道,该定理首先于1637年由法国业余数学家费马(Pierre de Fermat)在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时写在第11卷第8命题旁写道。他并附加道:“我发现了一个非常漂亮的证明,但这里没有足够的空间可容纳得下。”根据后世的考证,费马或许有办法证明n=3,4,5的情形,但不大可能给出一般性的证明,因为在20世纪90年代,怀尔斯用了130页的纸张,而且用到了复杂的现代理论,才完全证明了费马大定理。所以费马当时的这一断言,更可能只是一个归纳猜测。

在本系列文章中,笔者将尝试着从费马大定理讲起,介绍一些有关不定方程、数域、数环等的知识和历史,并且给出了费马大定理在$n=3$和$n=4$时的证明,这两个证明都用到了超出实整数范围的数域(Eisenstein整数和Gauss整数),它们都可以显示出扩展数域的思想是相当有力的,我们可以从中一瞥证明费马大定理的现代思想,因为怀尔斯证明费马大定理所用到的工具,本质上是一样的,只是更深、更远罢了。而本文就是企图搭建起业余数学爱好者与怀尔斯对费马大定理的证明的桥梁——当然,本文不打算写出怀尔斯对费马最后定理的证明过程,而且我也没有这个实力。

在这里简述一下费马大定理证明的发展过程:在费马提出该猜想的相当长一段时间内,人们只能针对某些特定的$n$进行证明。19世纪中期,数学家Kummer大大推荐了该猜想的研究,他证明了对于所有的规则素数$p$,方程$x^p+y^p=z^p$没有非零整数解。Kummer的思想进一步被发展为“泽岩理论”,怀尔斯进一步发展了泽岩理论,并且加入了很多其它的数学思想和技巧,终于证明了费马大定理。而本系列将要介绍的费马大定理的两个特例的证明,就是基于Kummer证明费马大定理的思想。

参考网站:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/
http://zh.wikipedia.org/zh/费马大定理


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